Metoda muzičke kompozicije sa labavim zvučnim tekstom; kao samostalan način komponovanja muzike formirao se u 20. veku. A. znači potpuno ili delimično odricanje od kompozitorove stroge kontrole nad muzičkim tekstom, ili čak eliminaciju same kategorije kompozitora-autora u tradicionalnom smislu. Inovacija A. leži u korelaciji stabilno uspostavljenih komponenti muzičkog teksta sa svjesno unesenom slučajnošću, proizvoljnom pokretljivošću muzičke materije. Koncept A. može se odnositi i na opći raspored dijelova kompozicije (na formu), i na strukturu njenog tkiva. Autor E. Denisov, interakcija između stabilnosti i pokretljivosti tkanine i forme daje 4 glavna tipa kombinacije, od kojih su tri - 2., 3. i 4. - aleatorične: 1. Stabilna tkanina - stabilna forma (uobičajena tradicionalna kompozicija, opus perfectum et absolutum; kao, na primjer, 6 simfonija Čajkovskog); 2. Stabilna tkanina - pokretna forma; prema V. Lutoslavsu, “A. forme” (P. Boulez, 3. sonata za klavir, 1957); 3. Mobilna tkanina - stabilan oblik; ili, prema Lutoslavskom, „A. teksture” (Lutoslavski, Gudački kvartet, 1964, Glavni stav); 4. Pokretna tkanina - pokretna forma; ili „A. kavez"(uz kolektivnu improvizaciju nekoliko izvođača). To su čvorne tačke metode A., oko kojih postoji mnogo različitih specifičnih tipova i slučajeva struktura, različitog stepena uronjenja u A.; osim toga, prirodne su i metabole (“modulacije”) – prijelaz s jednog tipa ili tipa na drugi, također na stabilan tekst ili iz njega.
A. je postao široko rasprostranjen od 1950-ih, pojavivši se (zajedno sa sonorics), posebno, kao reakcija na ekstremno porobljavanje muzičke strukture u višeparametarskom serijalizmu (vidi: dodekafonija). U međuvremenu, princip slobode strukture na ovaj ili onaj način ima drevne korijene. U suštini, zvučni tok, a ne jedinstveno strukturirani opus, jeste narodna muzika. Otuda i nestabilnost, "neopus" narodne muzike, varijacije, varijacije i improvizacije u njoj. Nepredvidljivost, improvizacija oblika karakteristični su za tradicionalnu muziku Indije, naroda Dalekog istoka i Afrike. Stoga se predstavnici A. aktivno i svjesno oslanjaju na bitne principe orijentalne i narodne muzike. Elementi strelice su postojali i u evropskoj klasičnoj muzici. Na primjer, među bečkim klasicima, koji su eliminirali princip generalnog basa i učinili muzički tekst potpuno stabilnim (simfonije i kvarteti I. Haydna), oštar kontrast predstavljala je "kadenca" u obliku instrumentalnog koncerta - a. virtuozni solo, dio koji kompozitor nije komponovao, već je dao po nahođenju izvođača (element A. forme). Komične “aleatorične” metode komponovanja jednostavnih komada (menueta) kombinovanjem muzičkih komada na kockicama (Würfelspiel) poznate su u doba Haydna i Mocarta (traktat I.F. Kirnbergera “U bilo koje vrijeme gotovi kompozitor poloneza i menueta”) Berlin, 1757).
U XX veku. princip "individualnog projekta" u formi je počeo da sugeriše prihvatljivost tekstualnih verzija dela (tj. A.). Godine 1907 američki kompozitor C. Ives komponovao je klavirski kvintet "Hallwe" en (= "All Saints' Eve"), čiji tekst, kada se izvodi na koncertu, treba četiri puta za redom drugačije svirati. D. kavez sastavljen 1951 “Muzika promjena” za klavir, čiji je tekst sastavio “manipulirajući nesrećama” (riječi kompozitora), koristeći za to kinesku “Knjigu promjena”. Classi-
kal primjer A. - "Klavirski komad XI" K. Stockhausen, 1957. Na listu papira ca. 0,5 m2 po slučajnom redoslijedu je 19 muzičkih fragmenata. Pijanista počinje sa bilo kojim od njih i svira ih nasumičnim redosledom, prateći usputni pogled; na kraju prethodnog odlomka piše kojim tempom i kojom jačinom svirati sledeći. Kada se pijanisti učini da je sve fragmente već odsvirao na ovaj način, trebalo bi ih ponovo odsvirati po drugi put istim slučajnim redoslijedom, ali u svjetlijoj zvučnosti. Nakon drugog kruga igra se završava. Za veći efekat, preporučljivo je ponoviti aleatorsko djelo na jednom koncertu - slušalac će vidjeti drugu kompoziciju iz istog materijala. Metod A. široko koriste savremeni kompozitori (Boulez, Stockhausen, Lutoslavski, A. Volkonski, Denisov, Schnittke i sl.).
Preduslov za A. u 20. veku. došli su novi zakoni harmoniju i iz njih proizašle tendencije traženja novih oblika koji odgovaraju novom stanju muzičkog materijala i karakteristični su za avangarda. Aleatorska tekstura bila je potpuno nezamisliva prije emancipacije disonance razvoj atonalne muzike (vidi: dodekafonija). Pristalica „ograničenog i kontrolisanog“ A. Lutoslavski u tome vidi nesumnjivu vrednost: „A. otvorio mi je nove i neočekivane vidike. Prije svega - ogromno bogatstvo ritma, nedostižno uz pomoć drugih tehnika. Denisov, opravdavajući "uvođenje nasumičnih elemenata u muziku", tvrdi da nam to "daje veliku slobodu u radu sa muzičkom materijom i omogućava nam da dobijemo nove zvučne efekte<...>, ali ideje mobilnosti mogu dati dobre rezultate samo ako<... >ako destruktivne tendencije skrivene u pokretljivosti ne unište konstruktivnost neophodnu za postojanje bilo kojeg oblika umjetnosti.
Neki drugi metodi i oblici muzike ukrštaju se sa A. Prije svega, to su: 1. improvizacija - izvođenje djela nastalog tokom igre; 2. grafička muzika, koje izvođač improvizuje prema vizuelnim slikama crteža koji mu je stavljen (npr. I. Brown, Folio, 1952), prevodeći ih u zvučne slike, ili prema muzičkoj aleatorskoj grafiki koju je kompozitor stvorio od komada notni tekst na listu papira (S. Bussotti, "Strast za vrtom", 1966); 3. dešava- improvizovana (u tom smislu, aleatorična) radnja (Promocija) uz učešće muzike sa proizvoljnim (kvazi) zapletom (npr. hepening A. Volkonskog "Replika" ansambla Madrigal u sezoni 1970/71); 4. otvorene forme muzike – odnosno one čiji tekst nije stabilno fiksiran, već se dobija svaki put u procesu izvođenja. To su tipovi kompozicija koji nisu suštinski zatvoreni i dozvoljavaju beskonačan nastavak (npr. sa svakom novom izvedbom), engleski. Posao u izradi. Za P. Bouleza, jedan od podsticaja koji ga je pretvorio u otvorenu formu bio je rad J. Joyce(“Ulysses”) i S. Mallarmé (“Le Livre”). Primjer otvorene kompozicije je "Available Forms II" Earla Browna za 98 instrumenata i dva dirigenta (1962). Sam Brown ukazuje na vezu njegove otvorene forme s "mobilima" u vizualnoj umjetnosti (vidi: kinetička umjetnost) posebno A. Caldera ("Calder Piece" za 4 bubnjara i Calderov mobilni, 1965.). Konačno, akcija “Gesamtkunst” prožeta je aleatorskim principima (vidi: Gezamtkunstwerk). 5. Multimedija čija je specifičnost sinhronizacija instalacije nekoliko umjetnosti (na primjer: koncert + izložba slika i skulptura + večer poezije u bilo kojoj kombinaciji umjetničkih oblika, itd.). Dakle, suština A. je da pomiri tradicionalno uspostavljeni umetnički poredak i osvežavajući ferment nepredvidivosti, slučajnosti - tendencija karakteristična za umetnička kultura XX veka. uopšteno i neklasična estetika.
Lit.: Denisov E.V. Stabilni i pokretni elementi muzičke forme i njihova interakcija// Teorijski problemi muzičkih oblika i žanrova. M., 1971; Kohoutek C. Kompoziciona tehnika u muzici XX veka. M., 1976; Lutoslavski V.Članci, biti-
seda kosa, uspomene. M., 1995; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate// Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Krakov, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakov, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.
Napisao dizajner Tyler Sigman, na "Gamasutri". S ljubavlju ga nazivam člankom o "dlakama u nozdrvama orka", ali on prilično dobro pokriva osnove vjerovatnoća u igrama.
Tema ove sedmice
Do danas je skoro sve o čemu smo pričali bilo determinističko, a prošle nedelje smo pobliže pogledali tranzitivnu mehaniku i razbili je sa onoliko detalja koliko mogu da objasnim. Ali do sada nismo obraćali pažnju na ogroman aspekt mnogih igara, odnosno na nedeterministički aspekt, drugim riječima - na slučajnost. Razumijevanje prirode slučajnosti je veoma važno za dizajnere igara jer kreiramo sisteme koji utiču na igračevo iskustvo u datoj igri, tako da moramo znati kako ti sistemi funkcionišu. Ako postoji slučajnost u sistemu, morate razumjeti priroda ovu slučajnost i kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koje želimo.
Dice
Počnimo s nečim jednostavnim: bacanjem kockica. Kada većina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kockicu sa šest strana poznata kao d6. Ali većina igrača je vidjela mnogo drugih kockica: četverostrane (d4), osmostrane (d8), dvanaestostrane (d12), dvadesetostrane (d20) ... i ako pravi geek, možda imaš negdje kockice sa 30 ili 100 strana. Ako niste upoznati s ovom terminologijom, "d" znači kocku, a broj iza nje je koliko lica ima. Ako prije“d” označava broj, znači količina kocka kada se baci. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.
Dakle, u ovom slučaju, izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoji ogroman broj drugih generatora slučajnih brojeva koji nemaju oblik plastičnog bloka, ali obavljaju istu funkciju generiranja slučajnog broja od 1 do n. Običan novčić se također može smatrati diedralnom kockom d2. Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedan je ličio na kocku, a drugi je više ličio na drvenu olovku sa sedam strana. Tetraedarski dreidel (također poznat kao titotum) je analog tetraedarske kosti. Polje za igru sa rotirajućim strelicama u igri “Chutes & Ladders”, gdje rezultat može biti od 1 do 6, odgovara kockici sa šest strana. Generator slučajnih brojeva u računaru može kreirati bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner da takvu komandu, iako računar nema kockicu sa 19 strana (općenito, govorit ću više o vjerovatnoći da brojevi ispadnu na kompjuter na sljedeći sedmica). Iako sve ove stavke izgledaju drugačije, one su zapravo ekvivalentne: imate jednake šanse da dobijete jedan od nekoliko ishoda.
Kockice imaju neke zanimljive osobine o kojima moramo znati. Prvo, vjerovatnoća da će se neko od lica pojaviti je ista (pretpostavljam da bacate pravu kocku, a ne pogrešnu geometriju). Dakle, ako želite da znate prosječna vrijednost roll (takođe poznat među probabilistima kao "matematičko očekivanje"), zbrojite vrijednosti svih ivica i podijelite ovaj zbir sa količina lica. Prosječna vrijednost bacanja za standardnu šestostranu kockicu je 1+2+3+4+5+6 = 21, podijeljena sa brojem lica (6) i dobijamo prosječnu vrijednost 21/6 = 3,5. Ovo je poseban slučaj jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerovatni.
Šta ako imate posebne kockice? Na primjer, vidio sam igru sa šestostranom kockom sa posebnim naljepnicama na licima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tako da se ponaša kao čudna trostrana kocka za koju je vjerovatnije da će baciti broj 1 od 2, a 2 od 3. Koja je prosječna vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1+1+1+2+2+3 = 10 podijeljeno sa 6 je jednako 5/3 ili oko 1,66. Dakle, ako imate ovu konkretnu kockicu i igrači bace tri kockice, a zatim zbrajaju rezultate, znate da će približan zbir njihovih bacanja biti oko 5, i možete uravnotežiti igru na osnovu te pretpostavke.
Kockice i nezavisnost
Kao što sam već rekao, polazimo od pretpostavke da je ispadanje svakog lica jednako vjerovatno. Ne zavisi od toga koliko kockica bacite. Svako bacanje kocke bez obzira, što znači da prethodna bacanja ne utiču na rezultate narednih bacanja. Uz dovoljan broj testova, sigurno ćete biljeska"serije" brojeva, kao što je bacanje uglavnom viših ili nižih vrijednosti, ili druge karakteristike, o čemu ćemo kasnije, ali to ne znači da su kockice "vruće" ili "hladne". Ako bacite standardni šestostrani kockicu i broj 6 se pojavi dva puta zaredom, vjerovatnoća da će sljedeće bacanje rezultirati 6 je također 1/6. Vjerovatnoća se ne povećava činjenicom da je kocka „zagrijana“. Vjerovatnoća se ne smanjuje, jer je broj 6 već dva puta zaredom ispao, što znači da će sada ispasti još jedno lice. (Naravno, ako bacite kockicu dvadeset puta i svaki put se pojavi broj 6, šansa da će se broj 6 pojaviti dvadeset i prvi put je prilično velika...jer to može značiti da imate pogrešnu kockicu !) Ali ako imate pravu kocku, vjerovatnoća ispadanja sa svakog od lica je ista, bez obzira na rezultate drugih bacanja. Možete i zamisliti da svaki put kada mijenjamo kockice, pa ako se broj 6 baci dva puta zaredom, uklonite "vruću" kocku iz igre i zamijenite je novom šestostranom kockom. Izvinjavam se ako je neko od vas već znao za ovo, ali morao sam ovo razjasniti prije nego što nastavim.
Kako napraviti manje-više nasumično bacanje kockica
Razgovarajmo o tome kako postići različite rezultate na različitim kockicama. Ako kockicu bacite samo jednom ili više puta, igra će izgledati nasumičnije ako kockica ima više rubova. Što više puta bacite kocku, ili što više kockica bacite, rezultati se više približavaju prosjeku. Na primjer, ako bacite 1d6+4 (tj. standardnu šestostranu kocku jednom i dodate 4 rezultatu), prosjek će biti broj između 5 i 10. Ako bacite 5d2, prosjek će također biti broj između 5 i 10. Ali kada se bacaju šestostrane kocke, vjerovatnoća da se dobiju brojevi 5, 8 ili 10 je ista. Rezultat bacanja 5d2 uglavnom će biti brojevi 7 i 8, rjeđe drugi brojevi. Ista serija, čak i isti prosek (7,5 u oba slučaja), ali je priroda slučajnosti drugačija.
Sačekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kockice ne zagrijavaju niti hlade? A sad kažem da ako bacite puno kockica, rezultati bacanja su bliži prosjeku? Zašto?
Dopusti mi da objasnim. Ako bacate jedan kockice, vjerovatnoća ispadanja sa svakog od lica je ista. To znači da ako bacite mnogo kockica, s vremenom će se svako lice pojaviti otprilike isti broj puta. Što više kockica bacite, to će se ukupan rezultat više približiti prosjeku. Nije zato što ubačeni broj "uzrokuje" da se okrene drugi broj koji još nije došao. Jer mali niz od 6s (ili 20s ili bilo šta drugo) ne završava kao velika stvar ako bacite kockice još deset hiljada puta i uglavnom se pojavi u sredini...možda ćete sada imati nekoliko brojeva sa visokom vrednošću, ali možda kasnije nekoliko brojeva sa niskom vrednošću i vremenom će se približiti prosečnoj vrednosti. Ne zato što prethodna bacanja utiču na kockice (ozbiljno, kockice su napravljene od plastika, ona nema pameti da pomisli "oh, prošlo je dosta vremena otkako je došlo do 2"), ali zato što se to obično dešava sa puno bacanja kockica. Mali niz brojeva koji se ponavljaju biće gotovo nevidljiv u velikom broju rezultata.
Dakle, prilično je lako izračunati za jedno nasumično bacanje kockice, barem što se tiče izračunavanja prosječne vrijednosti bacanja. Postoje i načini da se izračuna "koliko je slučajno" nešto, način da se kaže da će rezultati bacanja 1d6+4 biti "nasumičniji" od 5d2, za 5d2 će raspodjela bacanih rezultata biti ravnomjernija, obično izračunate standardnu devijaciju za ovo, i što je veća vrijednost, to će rezultati biti nasumičniji, ali ovo zahtijeva više proračuna nego što bih želio da dam danas (kasnije ću objasniti ovu temu). Jedina stvar koju tražim od vas da znate je da po pravilu, što je manje bačenih kockica, to je više slučajnih. I još jedan dodatak na ovu temu: što više strana ima kocka, to je više slučajnosti, jer imate više opcija.
Kako izračunati vjerovatnoću pomoću brojanja
Možda imate pitanje: kako možemo izračunati tačnu vjerovatnoću da će se određeni rezultat pojaviti? Ovo je zapravo vrlo važno za mnoge igre, jer ako bacite kockicu, vjerovatno će u početku biti neki optimalni ishod. Odgovor je: moramo izračunati dvije vrijednosti. Prvo, izračunajte maksimalan broj ishoda prilikom bacanja kocke (bez obzira kakav će biti ishod). Zatim prebrojite broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobijate željenu vjerovatnoću. Da biste dobili postotak, pomnožite rezultat sa 100.
primjeri:
Evo vrlo jednostavnog primjera. Želite baciti 4 ili više i baciti šestostrani kockicu jednom. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da bismo izračunali vjerovatnoću, podijelimo 3 sa 6 i dobijemo 0,5 ili 50%.
Evo primjera koji je malo komplikovaniji. Želite paran broj na bacanju 2d6. Maksimalan broj ishoda je 36 (6 za svaku kocku, a pošto jedna kocka ne utiče na drugu, 6 rezultata pomnožimo sa 6 i dobijemo 36). Poteškoća s ovom vrstom pitanja je u tome što je lako dvaput prebrojati. Na primjer, zapravo postoje dva moguća ishoda 3 na bacanju 2d6: 1+2 i 2+1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvoj kocki, a koji na drugoj. Također možete zamisliti da su kockice različitih boja, pa je na primjer u ovom slučaju jedna kockica crvena, a druga plava. Zatim prebrojite broj opcija za dobijanje parnog broja: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Ispada da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36, kao iu prethodnom slučaju, vjerovatnoća će biti 0,5 ili 50%. Možda neočekivano, ali prilično tačno.
Monte Carlo simulacija
Šta ako imate previše kockica za ovu kalkulaciju? Na primjer, želite da znate kolika je vjerovatnoća bacanja ukupno 15 ili više pri bacanju 8d6. Postoji MNOGO različitih pojedinačnih rezultata za osam kockica i bilo bi potrebno jako puno vremena da se izračunaju ručno. Čak i ako nađemo neko dobro rješenje za grupiranje različitih serija bacanja kockica, i dalje će trebati jako dugo da se broji. U ovom slučaju, najlakši način za izračunavanje vjerovatnoće nije ručno izračunavanje, već korištenje kompjutera. Postoje dva načina izračunavanja vjerovatnoće na računaru.
Prvi način može dobiti tačan odgovor, ali uključuje malo programiranja ili skriptiranja. U suštini, računar će proći kroz svaku mogućnost, proceniti i prebrojati ukupan broj iteracija i broj iteracija koje odgovaraju željenom rezultatu, a zatim dati odgovore. Vaš kod bi mogao izgledati otprilike ovako:
int wincount=0, totalcount=0;
za (int i=1; i<=6; i++) {
za (int j=1; j<=6; j++) {
za (int k=1; k<=6; k++) {
… // umetnite više petlji ovdje
ako (i+j+k+… >= 15) (
float vjerovatnoća = wincount/totalcount;
Ako niste programer i želite samo netačan, ali približan odgovor, ovu situaciju možete simulirati u Excelu, gdje bacite 8d6 nekoliko hiljada puta i dobijete odgovor. Za roll 1d6 u Excelu, koristite sljedeću formulu:
FLOOR(RAND()*6)+1
Postoji naziv za situaciju kada ne znaš odgovor i samo pokušaš mnogo puta - Monte Carlo simulacija, i to je odlično rješenje na koje se možete osloniti kada pokušavate izračunati vjerovatnoću, a previše je komplikovano. Odlična stvar je što u ovom slučaju ne moramo razumjeti kako matematika funkcionira, a znamo da će odgovor biti "prilično dobar", jer, kao što već znamo, što više bacanja, to se rezultat više približava prosječna vrijednost.
Kako kombinovati nezavisna ispitivanja
Ako pitate o višestrukim ponovljenim, ali nezavisnim pokušajima, onda ishod jednog bacanja ne utječe na ishod drugih bacanja. Postoji još jedno jednostavnije objašnjenje za ovu situaciju.
Kako razlikovati nešto zavisno i nezavisno? U principu, ako možete izolovati svako bacanje kocke (ili niz bacanja) kao poseban događaj, onda je to nezavisno. Na primjer, ako želimo baciti ukupno 15 bacanjem 8d6, ovaj slučaj se ne može podijeliti na nekoliko neovisnih bacanja kockica. S obzirom da za rezultat računate zbir vrijednosti svih kockica, rezultat koji je bačen na jednoj kocki utiče na rezultate koje treba baciti na drugoj kocki, jer samo zbrajanjem svih vrijednosti dobijate željeni rezultat.
Evo primjera nezavisnog bacanja: igrate igru kockice i bacate šestostrane kockice nekoliko puta. Da biste ostali u igri, morate baciti 2 ili više na svom prvom bacanju. Za drugu rolnu, 3 ili više. Za treće je potrebno 4 ili više, za četvrto 5 ili više, za peto 6. Ako je svih pet bacanja uspješnih, pobjeđujete. U ovom slučaju, sva bacanja su nezavisna. Da, ako jedno bacanje ne uspije, to će utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utiče na drugo bacanje. Na primjer, ako je vaše drugo bacanje kockice vrlo uspješno, to ne utiče na vjerovatnoću da će sljedeće bacanje biti jednako uspješno. Stoga možemo razmotriti vjerovatnoću svakog bacanja kocke posebno.
Ako imate odvojene, nezavisne verovatnoće i želite da znate kolika je to verovatnoća Sve događaji će doći, vi odredite svaku pojedinačnu vjerovatnoću i pomnožite ih. Drugi način: ako koristite veznik "i" da opišete nekoliko uslova (na primjer, kolika je vjerovatnoća da će se desiti neki slučajni događaj I neki drugi nezavisni slučajni događaj?), izračunajte pojedinačne vjerovatnoće i pomnožite ih.
Nije važno šta mislite nikad ne sabiraju nezavisne vjerovatnoće. Ovo je uobičajena greška. Da biste razumjeli zašto je to pogrešno, zamislite situaciju u kojoj bacite novčić 50/50 i želite da znate kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu dvaput zaredom. Svaka strana ima 50% šanse da dođe gore, tako da ako zbrojite dvije vjerovatnoće, dobijate 100% šanse da dođete glavom, ali znamo da to nije istina jer bi se mogla pojaviti dva uzastopna repa. Ako umjesto toga pomnožite ove dvije vjerovatnoće, dobićete 50% * 50% = 25%, što je tačan odgovor za izračunavanje vjerovatnoće da dobijete glave dva puta zaredom.
Primjer
Vratimo se na igru sa šesterostranim kockicama, gdje je potrebno prvo baciti broj veći od 2, zatim veći od 3 i tako dalje. do 6. Koje su šanse da u datoj seriji od 5 bacanja svi ishodi budu povoljni?
Kao što je gore spomenuto, ovo su nezavisna ispitivanja, tako da izračunavamo vjerovatnoću za svako pojedinačno bacanje i zatim ih množimo. Verovatnoća da će ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi - 4/6. Treći - 3/6. Četvrti - 2/6, peti - 1/6. Pomnoženjem svih ovih rezultata dobijamo oko 1,5%... Dakle, pobeda u ovoj igri je prilično retka, tako da ako dodate ovaj element svojoj igri, biće vam potreban prilično veliki džekpot.
Negacija
Evo još jednog korisnog savjeta: ponekad je teško izračunati vjerovatnoću da će se neki događaj dogoditi, ali je lakše odrediti koje su šanse da će se događaj dogoditi. neće doći.
Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru i bacate 6d6, i ako barem jednom bacanje 6, pobjeđujete. Kolika je vjerovatnoća pobjede?
U ovom slučaju postoji mnogo opcija koje treba razmotriti. Možda će jedan broj 6 ispasti, tj. jedna od kockica će baciti 6, a druge će baciti 1 prema 5, a postoji 6 opcija koja od kockica će baciti 6. Tada možete baciti 6 na dvije kocke, ili tri, ili čak i više, i svaki put treba da uradimo poseban proračun, tako da se lako zbunimo.
Ali postoji još jedan način za rješavanje ovog problema, pogledajmo ga s druge strane. Vi izgubiti Ako nijedan iz kocke neće ispasti broj 6. U ovom slučaju imamo šest nezavisnih pokušaja, vjerovatnoća svakog od njih je 5/6 (bilo koji broj osim 6 može pasti na kocku). Pomnožite ih i dobit ćete oko 33%. Dakle, vjerovatnoća gubitka je 1 prema 3.
Stoga je vjerovatnoća pobjede 67% (ili 2 prema 3).
Iz ovog primjera je očigledno da ako izračunavate vjerovatnoću da se događaj neće dogoditi, oduzmite rezultat od 100%. Ako je vjerovatnoća pobjede 67%, onda je vjerovatnoća izgubiti — 100% oduzeti 67% ili 33%. I obrnuto. Ako je teško izračunati jednu vjerovatnoću, ali je lako izračunati suprotnu, izračunajte suprotno, a zatim oduzmite od 100%.
Uslovi povezivanja za jedan nezavisni test
Rekao sam malo ranije da nikada ne treba zbrajati vjerovatnoće u nezavisnim ispitivanjima. Ima li slučajeva gde Može zbroj vjerovatnoće? Da, u jednoj konkretnoj situaciji.
Ako želite da izračunate vjerovatnoću više nepovezanih povoljnih ishoda u istom ispitivanju, zbrojite vjerovatnoće svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerovatnoća bacanja 4, 5 ili 6 na 1d6 je suma verovatnoća bacanja 4, verovatnoća bacanja 5 i verovatnoća bacanja 6. O ovoj situaciji možete razmišljati i na sledeći način: ako koristite veznik „ili“ u pitanju o verovatnoći (na primer, šta je vjerovatnoća od ili različit ishod jednog slučajnog događaja?), izračunati pojedinačne vjerovatnoće i sabrati ih.
Imajte na umu da kada zbrojite svim mogućim ishodima u igri, zbir svih vjerovatnoća mora biti jednak 100%. Ako zbir nije jednak 100%, vaš proračun je pogrešno napravljen. Ovo je dobar način da provjerite svoje proračune. Na primjer, analizirali ste vjerovatnoću dobivanja svih kombinacija u pokeru, ako zbrojite sve rezultate, trebali biste dobiti tačno 100% (ili barem vrijednost prilično blizu 100%, ako koristite kalkulator, možda ćete imati mala greška zaokruživanja, ali ako zbrojite tačne brojeve ručno, sve bi trebalo da se zbroji). Ako se zbroj ne konvergira, onda najvjerovatnije niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogrešno izračunali vjerovatnoće nekih kombinacija, a zatim morate još jednom provjeriti svoje izračune.
Nejednake vjerovatnoće
Do sada smo pretpostavljali da svako lice matrice ispada na istoj frekvenciji, jer matrica tako funkcionira. Ali ponekad ste suočeni sa situacijom u kojoj su mogući različiti ishodi i oni drugačije ispusti šanse. Na primjer, u jednoj od ekspanzija kartaške igre "Nuklearni rat" nalazi se polje za igru sa strelicom, koja određuje rezultat lansiranja projektila: u osnovi nanosi normalnu štetu, veću ili manju štetu, ali ponekad je šteta udvostručen ili utrostručen, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i naudi vam, ili se dogodi neki drugi događaj. Za razliku od table sa strelicama u "Chutes & Ladders" ili "A Game of Life", rezultati table u "Nuklearnom ratu" su nejednaki. Neki dijelovi igrališta su veći i strelica se na njima zaustavlja mnogo češće, dok su drugi dijelovi vrlo mali i strelica se na njima rijetko zaustavlja.
Dakle, na prvi pogled kost izgleda otprilike ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3; već smo pričali o tome, to je nešto poput ponderisanog 1d3, dakle, trebamo sve ove dijelove podijeliti na jednake dijelove, pronaći najmanju jedinicu mjere, koja je višestruka, a zatim predstaviti situaciju kao d522 (ili neki drugi ), gdje će skup kockica prikazati istu situaciju, ali s većim brojem ishoda. I ovo je jedan od načina rješavanja problema, i tehnički je izvodljiv, ali postoji lakši način.
Vratimo se na naše standardne šestostrane kocke. Rekli smo da da biste izračunali prosječnu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti na svim licima i podijeliti ih sa brojem lica, ali kako upravo da li je u toku kalkulacija? Možete to izraziti drugačije. Za kocku sa šest strana, vjerovatnoća da će se svako lice pojaviti je tačno 1/6. Sada se množimo Exodus svaka ivica na vjerovatnoća ovaj ishod (u ovom slučaju 1/6 za svako lice), a zatim zbrojite rezultirajuće vrijednosti. Dakle, zbrajanje (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), dobijamo isti rezultat (3.5) kao u prethodnom proračunu. Zapravo, izračunavamo ovo svaki put: svaki ishod množimo vjerovatnoćom tog ishoda.
Možemo li napraviti isti proračun za strelicu na igralištu u igrici "Nuklearni rat"? Naravno da možemo. A ako zbrojimo sve pronađene rezultate, dobićemo prosječnu vrijednost. Sve što treba da uradimo je da izračunamo verovatnoću svakog ishoda za strelicu na polju za igru i pomnožimo sa ishodom.
Još jedan primjer
Ova metoda izračunavanja prosjeka, množenjem svakog ishoda sa njegovom individualnom vjerovatnoćom, također je prikladna ako su ishodi jednako vjerovatni, ali imaju različite prednosti, kao što je ako bacite kocku i dobijete više na jednoj strani od drugih. Na primjer, uzmimo igru koja se dešava u kazinu: kladite se i bacate 2d6. Ako se pojave tri broja male vrijednosti (2, 3, 4) ili četiri velike vrijednosti (9, 10, 11, 12), dobit ćete iznos jednak vašoj opkladi. Brojevi s najnižom i najvećom vrijednošću su posebni: ako 2 ili 12 bacanja, pobjeđujete duplo više od vaše ponude. Ako se pojavi bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8) izgubit ćete opkladu. Ovo je prilično jednostavna igra. Ali kolika je vjerovatnoća pobjede?
Počnimo s brojanjem koliko puta možete pobijediti:
- Maksimalan broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliki je broj povoljnih ishoda?
- Postoji 1 opcija da će dvije ispasti i 1 opcija da će ispasti dvanaest.
- Postoje 2 opcije za bacanje tri i jedanaest.
- Postoje 3 opcije za kotrljanje četiri i 3 opcije za kotrljanje desetke.
- Postoje 4 opcije da se pojavi devet.
- Sumirajući sve opcije, dobijamo broj povoljnih ishoda 16 od 36.
Dakle, u normalnim uslovima ćete pobediti 16 puta od 36 mogućih... verovatnoća pobede je nešto manja od 50%.
Ali u dva slučaja od tih 16 dobit ćete duplo više, tj. to je kao da pobediš dvaput! Ako igrate ovu igru 36 puta, kladeći se svaki put po 1$, a svaki od svih mogućih ishoda dođe jednom, osvojit ćete ukupno 18$ (u stvari pobijedite 16 puta, ali dva od tih puta će se računati kao dvije pobjede). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne znači li to da je to jednaka šansa?
Uzmi si vremena. Ako izbrojite koliko puta možete izgubiti, dobit ćete 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, kladeći se svaki put po 1$, dobit ćete ukupno 18$ sa svim ubačenim kvotama... ali ćete izgubiti ukupan iznos od 20$ za svih 20 loših ishoda! Kao rezultat toga, malo ćete zaostati: gubite u prosjeku 2 USD neto na svakih 36 odigranih utakmica (možete reći i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada vidite kako je lako pogriješiti u ovom slučaju i pogrešno izračunati vjerovatnoću!
permutacija
Do sada smo pretpostavljali da redosled kojim se brojevi bacaju nije bitan prilikom bacanja kockica. Rolat 2+4 je isto što i rolni 4+2. U većini slučajeva ručno brojimo broj povoljnih ishoda, ali ponekad je ova metoda nepraktična i bolje je koristiti matematičku formulu.
Primjer ove situacije je iz igre s kockicama “Farkle”. Za svaku novu rundu bacate 6d6. Ako imate sreće i ispadnu svi mogući ishodi 1-2-3-4-5-6 (Straight), dobit ćete veliki bonus. Kolika je vjerovatnoća da će se to dogoditi? U ovom slučaju postoji mnogo opcija za gubitak ove kombinacije!
Rješenje je sljedeće: jedna od kockica (i samo jedna) mora baciti broj 1! Koliko načina da dobijete broj 1 na jednoj kocki? Šest, jer ima 6 kockica, a svaka od njih može baciti broj 1. Shodno tome, uzmite jednu kocku i ostavite je na stranu. Sada bi na jednu od preostalih kockica trebao pasti broj 2. Za to postoji pet opcija. Uzmite još jednu kocku i ostavite je sa strane. Zatim slijedi da četiri preostale kockice mogu baciti 3, tri preostale kockice mogu baciti 4, dvije preostale kockice mogu baciti 5, a na kraju ćete dobiti jednu kockicu koja mora baciti 6 (u potonjem slučaju, postoji samo jedna kocka i nema izbora). Da bismo izračunali broj povoljnih ishoda za direktnu kombinaciju, množimo sve različite, nezavisne opcije: 6x5x4x3x2x1 = 720 - izgleda da postoji dosta opcija za ovu kombinaciju.
Da bismo izračunali vjerovatnoću da dobijemo strejt, moramo podijeliti 720 sa brojem svih mogućih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogućih ishoda? Svaka kocka može imati 6 lica, tako da množimo 6x6x6x6x6x6 = 46656 (mnogo veći broj!). Podijelimo 720/46656 i dobijemo vjerovatnoću jednaku otprilike 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi korisno da to znate kako biste mogli kreirati odgovarajući sistem bodovanja. Sada razumijemo zašto u igri "Farkle" dobijete tako veliki bonus ako dobijete kombinaciju "strejt", jer je ova situacija prilično rijetka!
Rezultat je zanimljiv i iz još jednog razloga. Primjer pokazuje koliko rijetko rezultat koji odgovara vjerovatnoći zaista ispadne u kratkom periodu. Naravno, ako bismo bacili nekoliko hiljada kockica, različite strane kockice bi se često pojavile. Ali kada bacimo samo šest kockica, skoro nikad ne dešava se da svako od lica ispadne! Polazeći od toga, postaje jasno da je glupo očekivati da će sada ispasti još jedno lice koje još nije ispalo „jer broj 6 nismo ispuštali dugo, što znači da će sada ispasti. ”
Vidi, tvoj generator nasumičnih brojeva je pokvaren...
Ovo nas dovodi do uobičajene zablude o vjerovatnoći: pretpostavke da se svi ishodi javljaju s istom učestalošću. u kratkom vremenskom periodu, što zapravo nije slučaj. Ako bacimo kocku nekoliko puta, učestalost svakog od lica neće biti ista.
Ako ste ikada ranije radili na online igrici sa nekom vrstom generatora slučajnih brojeva, najvjerovatnije ste naišli na situaciju da igrač piše tehničkoj podršci da kaže da vam je generator slučajnih brojeva pokvaren i da ne prikazuje slučajne brojeve, a on došao do ovog zaključka jer je upravo ubio 4 čudovišta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a ove nagrade bi trebale pasti samo 10% vremena, tako da je ovo Skoro nikada ne bi trebalo zauzmi mjesto, što znači očigledno da je vaš generator slučajnih brojeva pokvaren.
Radiš matematiku. 1/10*1/10*1/10*1/10 je jednako 1 u 10.000, što znači da je prilično rijetko. I to je ono što igrač pokušava da vam kaže. Postoji li problem u ovom slučaju?
Sve zavisi od okolnosti. Koliko igrača je sada na vašem serveru? Pretpostavimo da imate prilično popularnu igru i 100.000 ljudi je igra svaki dan. Koliko igrača će ubiti četiri čudovišta zaredom? Sve je moguće, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da polovina njih samo trguje različitim artiklima na aukcijama ili čavrlja na RP serverima, ili se bavi drugim igrama, tako da samo polovina njih zapravo lovi čudovišta. Koja je vjerovatnoća da nekoga hoće li ista nagrada ispasti? U ovoj situaciji možete očekivati da ista nagrada može pasti nekoliko puta dnevno, barem!
Usput, zato se čini barem svakih nekoliko sedmica neko dobije na lutriji, čak i ako taj neko nikad vi ili vaši prijatelji ne dolazite. Ako dovoljno ljudi igra svake sedmice, velike su šanse da će ih barem biti jedan sretno... ali ako Vi ako igrate lutriju, manje su šanse da ćete dobiti posao u Infinity Wardu.
Mape i ovisnost
Razgovarali smo o nezavisnim događajima, kao što je bacanje kocke, a sada znamo mnogo moćnih alata za analizu slučajnosti u mnogim igrama. Proračun vjerovatnoće je malo složeniji kada je u pitanju izvlačenje karata iz špila, jer svaka karta koju izvučemo utiče na preostale karte u špilu. Ako imate standardni špil od 52 karte i izvučete 10 srca, na primjer, i želite znati vjerovatnoću da će sljedeća karta biti iste boje, vjerovatnoća se promijenila jer ste već uklonili jednu srčanu kartu iz paluba. Svaka karta koju uklonite mijenja vjerovatnoću sljedeće karte u špilu. Pošto u ovom slučaju prethodni događaj utiče na sledeći, ovaj događaj nazivamo verovatnoćom zavisan.
Imajte na umu da kada kažem "kartice" mislim bilo koji mehanika igre u kojoj postoji skup predmeta i jedan od predmeta uklanjate bez zamjene, “špil karata” je u ovom slučaju analogan vrećici žetona iz koje izvadite jedan čip, a ne zamijenite ga, ili urna iz koje uklanjate obojene klikere (zapravo nikad nisam vidio igru u kojoj je izvađena urna sa šarenim klikerima, ali izgleda da nastavnici vjerovatnoće preferiraju ovaj primjer iz nekog razloga).
Svojstva zavisnosti
Želeo bih da pojasnim da kada su u pitanju karte, pretpostavljam da izvlačite karte, gledate ih i uklanjate ih iz špila. Svaka od ovih radnji je važno svojstvo.
Da sam imao špil od, recimo, šest karata sa brojevima od 1 do 6, pa sam ih promiješao i izvukao jednu kartu, a zatim ponovo promiješao svih šest karata, to bi bilo isto kao bacanje šestostrane kocke; jedan rezultat ne utiče na sledeći. Samo ako izvučem karte i ne zamijenim ih, rezultat izvlačenja 1 karte će povećati vjerovatnoću da ću sljedeći put izvući kartu od 6 (vjerovatnost će se povećati dok na kraju ne izvučem tu kartu ili dok ne promiješam karte) .
Činjenica da mi gledamo na karticama je takođe važno. Ako izvadim kartu iz špila i ne pogledam je, nemam nikakve dodatne informacije i vjerovatnoća se zapravo ne mijenja. Ovo može zvučati nelogično. Kako jednostavno okretanje karte magično može promijeniti šanse? Ali moguće je, jer možete izračunati vjerovatnoću za nepoznate stavke samo iz činjenice da vi ti znaš. Na primjer, ako promiješate standardni špil karata, otkrijete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, znat ćete sa 100% sigurnošću da je preostala karta kraljica trefa. Ako promiješate standardni špil karata i izvučete 51 kartu, uprkos na njima, tada će vjerovatnoća da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Kako otvarate svaku karticu, dobijate više informacija.
Izračunavanje vjerovatnoće za zavisne događaje slijedi iste principe kao i za nezavisne događaje, osim što je malo komplikovanije, jer se vjerovatnoće mijenjaju kada otkrijete karte. Dakle, trebate pomnožiti mnogo različitih vrijednosti, umjesto da množite istu vrijednost. U stvari, to znači da moramo spojiti sve proračune koje smo uradili u jednu kombinaciju.
Primjer
Promiješate standardni špil od 52 karte i izvučete dvije karte. Kolika je vjerovatnoća da ćete izvaditi par? Postoji nekoliko načina za izračunavanje ove vjerovatnoće, ali je možda najjednostavniji sljedeći: kolika je vjerovatnoća da ako izvučete jednu kartu, nećete moći izvući par? Ova vjerovatnoća je nula, tako da nije bitno koju ćete prvu kartu izvući, sve dok se poklapa s drugom. Bez obzira koju kartu prvu izvučemo, još uvijek imamo priliku da izvučemo par, tako da je vjerovatnoća da ćemo izvući par nakon izvlačenja prve karte 100%.
Kolika je vjerovatnoća da će druga karta odgovarati prvoj? U špilu je preostala 51 karta i 3 od njih odgovaraju prvoj karti (zapravo bi bilo 4 od 52, ali ste već uklonili jednu od odgovarajućih karata kada ste izvukli prvu kartu!), tako da je vjerovatnoća 1 /17. (Dakle, sljedeći put kada tip preko stola koji igra Texas Hold'em kaže: "Kul, još jedan par? Danas sam sretan", znat ćete da postoji prilično velika šansa da blefira.)
Šta ako dodamo dva džokera i sada imamo 54 karte u špilu i želimo znati kolika je vjerovatnoća da ćemo izvući par? Prva karta može biti Džoker, a onda će špil sadržavati samo jedan kartica, a ne tri, koje će se poklapati. Kako pronaći vjerovatnoću u ovom slučaju? Dijelimo vjerovatnoće i množimo svaku mogućnost.
Naša prva karta može biti džoker ili neka druga karta. Verovatnoća izvlačenja džokera je 2/54, verovatnoća da se izvuče neka druga karta je 52/54.
Ako je prva karta džoker (2/54), onda je vjerovatnoća da će druga karta odgovarati prvoj iznosi 1/53. Množenje vrijednosti (možemo ih množiti jer su to zasebni događaji i mi to želimo oboje desili su se događaji) i dobijamo 1/1431 - manje od jedne desetine procenta.
Ako prvo izvučete neku drugu kartu (52/54), vjerovatnoća da se poklapa druga karta je 3/53. Pomnožimo vrijednosti i dobijemo 78/1431 (nešto više od 5,5%).
Šta da radimo sa ova dva rezultata? Oni se ne seku i želimo da znamo verovatnoću svima njih, pa sumiramo vrijednosti! Dobijamo konačni rezultat 79/1431 (još uvijek oko 5,5%).
Ako bismo htjeli biti sigurni u tačnost odgovora, mogli bismo izračunati vjerovatnoću svih drugih mogućih ishoda: izvlačenje džokera i nepoklapanje druge karte, ili izvlačenje neke druge karte koja se ne podudara s drugom karticom, i zbrojiti ih sve sa verovatnoćom pobede, dobili bismo tačno 100%. Ovdje neću iznositi matematiku, ali možete pokušati s matematikom da provjerite.
Paradoks Monty Halla
Ovo nas dovodi do prilično poznatog paradoksa koji često zbunjuje mnoge, paradoksa Monty Halla. Paradoks je dobio ime po Montiju Holu, voditelju TV emisije Hajde da se dogovorimo. Ako nikada niste gledali ovu emisiju, bila je suprotna TV emisiji "Cijena je prava". U emisiji “The Price Is Right”, voditelj (bivši Bob Barker, sada je…Drew Carey? U svakom slučaju…) je vaš prijatelj. On želi za vas da osvojite novac ili cool nagrade. Pokušava vam pružiti svaku priliku za pobjedu, sve dok možete pogoditi koliko sponzorirani predmeti zapravo vrijede.
Monty Hall se ponašao drugačije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Njegov cilj je bio da izgledaš kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u emisiji, on je bio vaš protivnik, igrali ste protiv njega i šanse su bile u njegovu korist. Možda sam grub, ali kada izgleda da je šansa da budeš izabran za protivnika direktno proporcionalna tome da li nosiš smiješan kostim ili ne, dolazim do sličnih zaključaka.
Ali jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su bila troja vrata, i zvala su se Vrata broj 1, Vrata broj 2 i Vrata broj 3. Mogli ste izabrati bilo koja vrata... besplatno! Iza jednih od ovih vrata nalazila se veličanstvena nagrada, na primjer, novi automobil. Iza ostalih vrata nije bilo nagrada, ova dva vrata nisu imala nikakvu vrijednost. Njihov cilj je bio da te ponize i tako nije da iza njih nije bilo ništa, bilo je nešto iza njih što je izgledalo glupo, kao koza iza njih ili ogromna tuba paste za zube, ili tako nešto... nešto, šta je tačno bilo Ne novo auto.
Odabrali ste jedna od vrata i Monty se spremao da ih otvori kako bi vam rekao da li ste pobijedili ili ne... ali čekajte, prije nego saznamo pogledajmo jedan od one vrata ti nije izabrano. Pošto Monty zna iza kojih vrata je nagrada, a postoji samo jedna nagrada i dva vrata koja niste odabrali, bez obzira na sve, on uvijek može otvoriti vrata koja nemaju nagradu iza sebe. “Da li birate Vrata broj 3? Onda otvorimo vrata 1 da pokažemo da iza toga nema nagrade." A sada, iz velikodušnosti, nudi vam priliku da zamijenite svoja odabrana Vrata #3 za ona iza Vrata #2. Ovdje dolazi u igru pitanje vjerovatnoće: da li mogućnost odabira drugačijih vrata povećava ili smanjuje vaš šansa za pobjedu, ili ostaje ista? Kako misliš?
Tačan odgovor: mogućnost izbora drugih vrata povećava vjerovatnoća pobjede od 1/3 do 2/3. Ovo je nelogično. Ako se ranije niste susreli s ovim paradoksom, vjerovatno mislite: čekajte, otvarajući jedna vrata, magično smo promijenili vjerovatnoću? Ali kao što smo vidjeli u primjeru karte iznad, ovo je upravošta se dešava kada dobijemo više informacija. Očigledno je da je vjerovatnoća da ćete pobijediti prvi put kada odaberete 1/3, i pretpostavljam da će se svi složiti oko toga. Kada se jedna vrata otvore, to uopšte ne menja verovatnoću pobede za prvi izbor, verovatnoća je i dalje 1/3, ali to znači da je verovatnoća da drugi vrata ispravna je sada 2/3.
Pogledajmo ovaj primjer s druge strane. Vi birate vrata. Vjerovatnoća za pobjedu je 1/3. Predlažem da se promijeniš dva druga vrata, što Monty Hall zapravo predlaže da uradi. Naravno, on otvara jedna od vrata da pokaže da iza toga nema nagrade, ali on Uvijek može to učiniti, tako da to zapravo ništa ne mijenja. Naravno, poželećete da izaberete drugačija vrata!
Ako ne razumijete ovo pitanje i trebate uvjerljivije objašnjenje, kliknite na ovaj link da biste otišli na sjajnu malu Flash aplikaciju koja će vam omogućiti da detaljnije istražite ovaj paradoks. Možete početi sa oko 10 vrata, a zatim postepeno prelaziti na igru sa troje vrata; tu je i simulator gdje možete odabrati bilo koji broj vrata od 3 do 50 i igrati ili pokrenuti nekoliko hiljada simulacija i vidjeti koliko puta biste pobijedili da ste igrali.
Bilješka nastavnika više matematike i stručnjaka za balans igre Maxima Soldatova, koju, naravno, Schreiber nije imao, ali bez koje je prilično teško razumjeti ovu magičnu transformaciju:
Odaberite vrata, jedno od tri, vjerovatnoća "pobjede" 1/3. Sada imate 2 strategije: promijenite izbor nakon otvaranja pogrešnih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, tada će vjerovatnoća ostati 1/3, jer je izbor samo u prvoj fazi i morate odmah pogoditi, ali ako promijenite, onda možete pobijediti ako prvo odaberete pogrešna vrata ( onda otvore još jednu pogrešnu, ostaće istina, promijeniš odluku samo je donesi)
Vjerovatnoća odabira pogrešnih vrata na početku je 2/3, pa ispada da promjenom odluke povećavate vjerovatnoću dobitka 2 puta
Ponovno razmatranje Monty Hall paradoksa
Što se tiče same emisije, Monty Hall je to znao, jer čak i ako njegovi protivnici nisu bili dobri u matematici, On dobro je razume. Evo šta je uradio da malo promeni igru. Ako ste izabrali vrata iza kojih je bila nagrada čija je vjerovatnoća 1/3, to je Uvijek ponudio Vam mogućnost izbora drugih vrata. Zato što si izabrao auto pa ga promijeniš u kozu i izgledaš prilično glupo, što mu je upravo ono što treba, jer je on nekako zao tip. Ali ako odaberete vrata iza kojih neće biti nagrade, samo pola u takvim slučajevima on će vas potaknuti da odaberete druga vrata, au drugim slučajevima će vam jednostavno pokazati vašu novu kozu i vi ćete napustiti pozornicu. Hajde da analiziramo ovu novu igru gde Monty Hall može izabrati nudi vam priliku da odaberete druga vrata ili ne.
Pretpostavimo da on slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata sa nagradom, on vam uvijek nudi mogućnost da odaberete druga vrata, inače je vjerovatnoća da će vam ponuditi druga vrata ili dati kozu 50/50. Kolika je vjerovatnoća da dobijete?
U jednoj od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a domaćin vas poziva da odaberete druga vrata.
Od preostale dvije od tri opcije (u početku birate vrata bez nagrade), polovinu vremena će domaćin tražiti da odaberete druga vrata, a u drugoj polovini vremena neće. Polovina 2/3 je 1/3, tj. u jednom od tri slučaja ćete dobiti kozu, u jednom od tri ćete izabrati pogrešna vrata i domaćin će vas zamoliti da odaberete druga iu jednom slučaju od tri ćete izabrati desna vrata i on će vas potaknuti da odaberete druga vrata.
Ako domaćin predloži da izaberemo druga vrata, već znamo da se nije desio jedan od tri slučaja kada nam da kozu i mi odemo. Ovo je korisna informacija jer znači da su se naše šanse za pobjedu promijenile. Dva od tri puta imamo izbor, u jednom slučaju to znači da smo dobro pogodili, au drugom slučaju da smo pogodili pogrešno, pa ako nam je uopšte ponuđen izbor, to znači da je vjerovatnoća da dobijemo 50 / 50, a nema matematički pogodnosti, ostanite pri svom izboru ili odaberite druga vrata.
Kao i poker, sada je psihološka igra, a ne matematička. Monty ti je ponudio izbor jer misli da si budala koja ne zna da je odabir drugačijih vrata "prava" odluka i da ćeš ostati pri svom izboru jer psihološki je situacija kada biraš auto, a onda izgubio, teže? Ili misli da si pametan i izabere druga vrata, a nudi ti tu šansu jer zna da si pogodio prvi put i da ćeš biti uhvaćen i zarobljen? Ili je možda neuobičajeno ljubazan prema sebi i tjera te da uradiš nešto u svom ličnom interesu jer već dugo nije donirao auto, a producenti mu govore da je publici dosadno i bolje da uskoro da veliku nagradu. da rejting ne padne?
Dakle, Monty uspeva da ponudi izbor (ponekad) i ukupna verovatnoća pobede ostaje 1/3. Zapamtite da je vjerovatnoća da ćete odmah izgubiti 1/3. Postoji 1/3 šanse da ćete pogoditi odmah, a 50% tih puta ćete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6). Vjerovatnoća da ćete u početku pogrešno pogoditi, ali onda imati priliku da odaberete druga vrata je 1/3, au 50% ovih slučajeva ćete pobijediti (također 1/6). Zbrojite dvije nezavisne mogućnosti pobjede i dobijete vjerovatnoću od 1/3, tako da bez obzira da li ostanete na svom izboru ili odaberete druga vrata, ukupna vjerovatnoća vaše pobjede tokom igre je 1/3... vjerovatnoća ne postaje veća nego u situaciji kada biste pogodili vrata i domaćin bi vam pokazao šta se nalazi iza ovih vrata, bez mogućnosti izbora drugih vrata! Dakle, svrha ponude opcije za odabir drugačijih vrata nije da se promijeni vjerovatnoća, već da se proces odlučivanja učini zabavnijim za gledanje na TV-u.
Inače, ovo je jedan od razloga zašto poker može biti toliko zanimljiv: u većini formata između rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postepeno otkrivaju , a ako na početku igre imate jednu vjerovatnoću za dobitak, onda se nakon svake runde klađenja, kada se otvori više karata, ova vjerovatnoća se mijenja.
Paradoks dječaka i djevojčice
Ovo nas dovodi do još jednog dobro poznatog paradoksa koji ima tendenciju da zbuni sve, paradoksa dječaka i djevojčice. Jedina stvar o kojoj danas pišem nije direktno povezana s igrama (iako pretpostavljam da to samo znači da bih vas trebao potaknuti da kreirate relevantnu mehaniku igre). Ovo je više zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je riješili, morate razumjeti uslovnu vjerovatnoću o kojoj smo gore govorili.
Zadatak: Imam prijatelja sa dvoje djece, najmanje jedan dijete je djevojčica. Kolika je vjerovatnoća da će drugo dijete Isto djevojka? Pretpostavimo da je u svakoj porodici šansa da dobijete devojčicu ili dečaka 50/50 i to važi za svako dete (zapravo, neki muškarci imaju više sperme u spermi sa X hromozomom ili Y hromozomom, pa je verovatnoća neznatno se menja ako se zna da je jedno dete devojčica, verovatnoća da se rodi devojčica je nešto veća, pored toga postoje i drugi uslovi, na primer hermafroditizam, ali za rešavanje ovog problema to nećemo uzeti u obzir i pretpostavljamo da rođenje djeteta je nezavisan događaj i vjerovatnoća da će se roditi dječak ili djevojčica je ista).
Pošto govorimo o šansi 1/2, intuitivno očekujemo da će odgovor biti vjerovatno 1/2 ili 1/4, ili neki drugi okrugli broj koji je višekratnik 2. Ali odgovor je: 1/3 . Čekaj zašto?
Poteškoća u ovom slučaju je što informacije kojima raspolažemo smanjuju broj mogućnosti. Pretpostavimo da su roditelji obožavatelji Ulice Sezam i, bez obzira da li je dijete rođeno kao dječak ili djevojčica, svojoj djeci daju imena A i B. Pod normalnim okolnostima, postoje četiri jednako vjerovatne mogućnosti: A i B su dva dječaka, A i B su dvije djevojčice, A je dječak i B je djevojčica, A je djevojčica, a B je dječak. Pošto to znamo najmanje jedan dijete je djevojčica, možemo isključiti mogućnost da su A i B dva dječaka, ostavljajući nam tri (još jednako vjerovatne) mogućnosti. Ako su sve mogućnosti podjednako vjerovatne i postoje tri, znamo da je vjerovatnoća svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije su oboje djece dvije djevojčice, tako da je odgovor 1/3.
I opet o paradoksu dječaka i djevojčice
Rješenje problema postaje još nelogičnije. Zamislite da vam kažem da moj prijatelj ima dvoje dece i jedno dete - devojčica rođena u utorak. Pretpostavimo da je u normalnim uslovima vjerovatnoća da ćete imati dijete jednog od sedam dana u sedmici ista. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica? Možda mislite da bi odgovor i dalje bio 1/3; Koji je značaj utorka? Ali u ovom slučaju, intuicija nas iznevjerava. odgovor: 13/27 što ne samo da nije intuitivno, već je veoma čudno. Sta je bilo u ovom slučaju?
U stvari, utorak mijenja vjerovatnoću jer ne znamo Koji beba je rođena u utorak ili eventualno dvoje djece rođeni u utorak. U ovom slučaju koristimo istu logiku kao gore, računamo sve moguće kombinacije kada je barem jedno dijete djevojčica koja je rođena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B, kombinacije su sljedeće:
- A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je dječak (u ovoj situaciji postoji 7 mogućnosti, po jedna za svaki dan u sedmici kada bi se dječak mogao roditi).
- B je djevojčica koja je rođena u utorak, A je dječak (takođe 7 mogućnosti).
- A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je djevojčica koja je rođena drugi dan u sedmici (6 mogućnosti).
- B je djevojčica koja je rođena u utorak, A je djevojčica koja nije rođena u utorak (takođe 6 vjerovatnoća).
- A i B su dvije djevojčice koje su rođene u utorak (1 mogućnost, na ovo treba obratiti pažnju da ne bi brojali dva puta).
Sumiramo i dobijemo 27 različitih podjednako mogućih kombinacija rađanja djece i dana sa barem jednom mogućnošću da se djevojčica rodi u utorak. Od toga je 13 mogućnosti kada se rode dvije djevojčice. To također izgleda potpuno nelogično, a čini se da je ovaj zadatak stvoren samo da izazove glavobolju. Ako ste još uvijek zbunjeni ovim primjerom, teoretičar igara Jesper Juhl ima dobro objašnjenje stvari na svojoj web stranici.
Ako trenutno radite na igrici...
Ako postoji slučajnost u igri koju dizajnirate, ovo je odlična prilika da je analizirate. Odaberite bilo koji element koji želite analizirati. Prvo se zapitajte kolika je vjerovatnoća za ovaj element prema vašim očekivanjima, kakva bi, po vašem mišljenju, trebala biti u kontekstu igre. Na primjer, ako pravite RPG i razmišljate o tome kolika bi vjerovatnoća trebala biti da igrač može pobijediti čudovište u borbi, zapitajte se koji postotak pobjeda vam odgovara. Obično kada igraju konzolne RPG-ove, igrači su jako frustrirani kada izgube, pa je bolje da ne gube često... možda 10% vremena ili manje? Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerovatnoća trebala biti.
Onda se zapitajte da li je to nešto zavisan(kao karte) ili nezavisni(kao kockice). Razgovarajte o svim mogućim ishodima i njihovim vjerovatnoćama. Uvjerite se da je zbir svih vjerovatnoća 100%. Na kraju, naravno, uporedite svoje rezultate sa svojim očekivanjima. Bilo da su kockice bačene ili su karte izvučene onako kako ste namjeravali ili vidite da trebate prilagoditi vrijednosti. I naravno ako ti naćišta treba prilagoditi, možete koristiti iste kalkulacije da odredite koliko nešto treba prilagoditi!
Zadaća
Vaš "domaći zadatak" ove sedmice će vam pomoći da usavršite svoje vještine vjerovatnoće. Ovdje su dvije igre s kockicama i kartaška igra koju ćete analizirati korištenjem vjerovatnoće, kao i čudna mehanika igre koju sam jednom razvio na kojoj ćete testirati Monte Carlo metodu.
Igra #1 - Zmajeve kosti
Ovo je igra kockica koju smo moje kolege i ja jednom smislili (zahvaljujući Jebu Havensu i Jesse Kingu!), i koja namjerno oduva ljude svojim vjerovatnoćama. Ovo je jednostavna kazino igra pod nazivom "Dragon Bones" i to je takmičenje u kockanju između igrača i ustanove. Dobijate redovnu kockicu 1d6. Cilj igre je baciti broj veći od broja kuće. Tomu je dat nestandardni 1d6 - isti kao i tvoj, ali umjesto jednog na jednoj strani - imidž zmaja (tako kazino ima kockicu Dragon-2-3-4-5-6). Ako institucija dobije zmaja, automatski pobjeđuje, a vi gubite. Ako oboje dobijete isti broj, to je neriješeno i ponovo bacate kockice. Onaj ko ubaci najveći broj pobjeđuje.
Naravno, sve ne ide baš u korist igrača, jer kazino ima prednost u vidu Zmajevog lica. Ali da li je zaista tako? Moraš to izračunati. Ali prije toga provjerite svoju intuiciju. Recimo da je pobjeda 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadržavate svoju opkladu i dobijate dupli iznos. Na primjer, ako se kladite na 1$ i pobijedite, zadržavate taj dolar i dobijate još 2$ na vrhu, za ukupno 3$. Ako izgubite, gubite samo svoju opkladu. Da li bi igrao? Dakle, da li intuitivno osjećate da je vjerovatnoća veća od 2 prema 1, ili još uvijek mislite da je manja? Drugim riječima, u prosjeku u 3 utakmice, da li očekujete pobjedu više od jednom, manje ili jednom?
Kada se pozabavite svojom intuicijom, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogućih pozicija za obje kockice, tako da ih možete lako prebrojati. Ako niste sigurni u vezi ove ponude 2 prema 1, razmislite o ovome: Recimo da ste igrali igru 36 puta (kladite se 1 USD svaki put). Za svaku pobedu dobijate 2$, za svaki gubitak gubite 1$, a remi ništa ne menja. Izbrojite sve svoje vjerovatne pobjede i poraze i odlučite hoćete li izgubiti neki dolar ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko se vaša intuicija pokazala ispravnom. A onda - shvati kakav sam ja negativac.
I, da, ako ste već razmišljali o ovom pitanju - namjerno vas zbunjujem iskrivljavajući stvarnu mehaniku igre s kockicama, ali sam siguran da ovu prepreku možete prevladati samo dobrim razmišljanjem. Pokušajte sami riješiti ovaj problem. Ovdje ću objaviti sve odgovore sljedeće sedmice.
Igra #2 - Roll of Luck
Ovo je igra s kockicama koja se zove Lucky Roll (koja se naziva i Birdcage, jer se ponekad kockice ne bacaju već se stavljaju u veliki žičani kavez, sličan Bingo kavezu). To je jednostavna igra koja ide otprilike ovako: kladite se, recimo, na 1 dolar na broj između 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi vaš broj, dobijate 1 dolar (i zadržavate svoju originalnu opkladu). Ako vaš broj ne padne ni na jednu kocku, kazino će dobiti vaš dolar, a vi ništa. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na lice tri puta, dobijate 3$.
Intuitivno se čini da su u ovoj utakmici šanse izjednačene. Svaka kockica je pojedinačna šansa 1 prema 6 za pobjedu, tako da je zbir sve tri 3 prema 6. Međutim, imajte na umu, naravno, da dodajete tri odvojene kocke i da vam je dozvoljeno sabirati samo ako govorimo o odvojene dobitne kombinacije istih kockica. Nešto što ćete morati umnožiti.
Nakon što ste izračunali sve moguće ishode (vjerovatno je lakše to učiniti u Excelu nego ručno, ima ih 216), igra na prvi pogled i dalje izgleda parno-neparno. Ali u stvarnosti, kazino je i dalje vjerojatnije da će pobijediti – koliko više? Konkretno, koliko novca očekujete da ćete izgubiti u prosjeku po rundi igre? Sve što treba da uradite je da saberete pobede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podelite sa 216, što bi trebalo da bude prilično lako... Ali kao što vidite, postoji nekoliko zamki u koje možete upasti, zbog čega ja reći vam: Ako mislite da ova igra ima jednake šanse za pobjedu, sve ste pogriješili.
Igra #3 - 5 Card Stud
Ako ste se već zagrijali za prethodne igre, hajde da proverimo šta znamo o uslovnoj verovatnoći koristeći ovu kartašku igru kao primer. Konkretno, zamislimo poker sa špilom od 52 karte. Zamislimo i stud sa 5 karata gdje svaki igrač dobije samo 5 karata. Ne možete odbaciti kartu, ne možete izvući novu, nema zajedničkog špila - dobijate samo 5 karata.
Royal flush je 10-J-Q-K-A u jednoj kombinaciji, ukupno četiri, tako da postoje četiri moguća načina da dobijete royal flush. Izračunajte vjerovatnoću da ćete dobiti jednu od ovih kombinacija.
Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata možete izvući bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u početku možete izvući keca ili desetku, nije važno. Dakle, kada računate ovo, imajte na umu da zapravo postoji više od četiri načina da dobijete royal flush, pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu!
Igra #4 - MMF lutrija
Četvrti zadatak neće biti tako lako riješiti metodama o kojima smo danas govorili, ali možete lako simulirati situaciju pomoću programiranja ili Excela. Upravo na primjeru ovog problema možete razraditi metodu Monte Carlo.
Ranije sam spomenuo igru "Chron X" na kojoj sam nekada radio, a postojala je i jedna vrlo zanimljiva karta - lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igrici. Nakon završetka runde, karte su preraspodijeljene i postojala je šansa od 10% da će karta biti van igre i da će nasumični igrač dobiti po 5 svake vrste resursa koji ima žeton na toj kartici. Karta je stavljena u igru bez ijednog žetona, ali svaki put kada je ostala u igri na početku sljedeće runde, dobijala je jedan žeton. Dakle, postojala je šansa od 10% da ćete ga staviti u igru, runda će se završiti, karta će napustiti igru i niko neće dobiti ništa. Ako ne bude (sa 90% šanse), postoji 10% šanse (u stvari 9%, pošto je to 10% od 90%) da će ona napustiti igru u sljedećem krugu i neko će dobiti 5 resursa. Ako karta izađe iz igre nakon jedne runde (10% od 81% dostupnih, dakle vjerovatnoća je 8,1%), neko će dobiti 10 jedinica, drugu rundu - 15, još 20, itd. Pitanje: koja je očekivana vrijednost broja resursa koje ćete dobiti od ove kartice kada konačno izađe iz igre?
Obično bismo ovaj problem pokušali riješiti pronalaženjem mogućnosti svakog ishoda i množenjem sa brojem svih ishoda. Dakle, postoji 10% šanse da ćete dobiti 0 (0,1*0 = 0). 9% da ćete dobiti 5 resursa (9%*5 = 0,45 resursa). 8,1% onoga što dobijete je 10 (8,1%*10 = 0,81 ukupnih resursa, očekivana vrijednost). I tako dalje. A onda bismo sve sumirali.
I sada vam je problem očigledan: uvijek postoji šansa da kartica Ne napušta igru kako bi mogla ostati u igri zauvijek, za beskonačan broj krugova, tako da su mogućnosti za izračunavanje bilo koja mogućnost ne postoji. Metode koje smo danas naučili ne dozvoljavaju nam da izračunamo beskonačnu rekurziju, pa ćemo je morati stvoriti umjetno.
Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napišite program koji će simulirati ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja dovodi varijablu na početnu poziciju nule, pokazuje nasumični broj i sa 10% šanse da varijabla izađe iz petlje. U suprotnom, dodaje se 5 varijabli i petlja se ponavlja. Kada konačno izađe iz petlje, povećajte ukupan broj probnih pokretanja za 1 i ukupan broj resursa (za koliko ovisi o tome gdje se varijabla zaustavila). Zatim resetirajte varijablu i počnite ispočetka. Pokrenite program nekoliko hiljada puta. Na kraju, podijelite ukupne resurse sa ukupnim brojem trčanja - ovo je vaša očekivana Monte Carlo vrijednost. Pokrenite program nekoliko puta da biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti; ako je širenje još uvijek veliko, povećajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne počnete dobivati podudaranja. Možete biti sigurni da će sve brojke koje završite biti približno tačne.
Ako ste novi u programiranju (ili čak i ako jeste), evo male vježbe za zagrijavanje vaših Excel vještina. Ako ste dizajner igara, Excel vještine nikada nisu suvišne.
Sada će vam funkcije IF i RAND biti vrlo korisne. RAND ne zahtijeva vrijednosti, on samo proizvodi nasumični decimalni broj između 0 i 1. Obično ga kombiniramo sa FLOOR-om i plusima i minusima da simuliramo bacanje kockice, što sam ranije spomenuo. Međutim, u ovom slučaju ostavljamo samo 10% šanse da će kartica napustiti igru, tako da možemo samo provjeriti da li je RAND vrijednost manja od 0,1 i više ne brinuti o tome.
IF ima tri značenja. Redom, uslov koji je tačan ili ne, zatim vrednost koja se vraća ako je uslov tačan i vrednost koja se vraća ako je uslov netačan. Dakle, sljedeća funkcija će vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena:
=IF(RAND()<0.1,5,0)
Postoji mnogo načina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio ovu formulu za ćeliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ćelija A1:
IF(RAND()<0.1,0,-1)
Ovdje koristim negativnu varijablu što znači "ova kartica nije napustila igru i još uvijek nije dala nikakve resurse". Dakle, ako je prva runda gotova i karta nije u igri, A1 je 0; inače je -1.
Za sljedeću ćeliju koja predstavlja drugi krug:
IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))
Dakle, ako se prva runda završi i karta odmah napusti igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova ćelija će jednostavno kopirati tu vrijednost. Inače, A1 je -1 (karta još nije izašla iz igre), a ova ćelija se nastavlja nasumično kretati: 10% vremena vraća 5 jedinica resursa, ostatak vremena će njena vrijednost i dalje biti - 1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ćelije, dobićemo dodatne runde, a s kojom god ćeliju završite, dobit ćete konačni rezultat (ili -1 ako karta nije izašla iz igre nakon svih rundi koje ste odigrali).
Uzmite ovaj red ćelija, koji je jedini krug sa ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili hiljada) redova. Možda nećemo moći beskrajno test za Excel (postoji ograničen broj ćelija u tabeli), ali barem možemo pokriti većinu slučajeva. Zatim odaberite jednu ćeliju u koju ćete staviti prosjek rezultata svih rundi (Excel ljubazno pruža funkciju AVERAGE() za ovo).
Na Windows-u, barem možete pritisnuti F9 da ponovo izračunate sve nasumične brojeve. Kao i prije, uradite ovo nekoliko puta i provjerite jesu li vrijednosti koje dobijete iste. Ako je širina prevelika, udvostručite broj trčanja i pokušajte ponovo.
Neriješeni problemi
Ako ste slučajno diplomirani iz Vjerovatnoće i navedeni problemi vam se čine prelaki, evo dva problema o kojima se godinama češkam, ali, nažalost, nisam dobar u matematici da ih riješim. Ako iznenada znate rješenje, molimo vas da ga objavite ovdje u komentarima, sa zadovoljstvom ću ga pročitati.
Neriješen problem #1: LutrijaMMF
Prvi neriješeni problem je prethodni domaći zadatak. Lako mogu koristiti Monte Carlo metodu (koristeći C++ ili Excel) i biti siguran u odgovor na pitanje „koliko resursa će igrač dobiti“, ali ne znam tačno kako da dam tačan matematički dokaziv odgovor (ovo je beskonačan niz). Ako znate odgovor, objavite ga ovdje... nakon što ga Monte Carlo provjeri, naravno.
Neriješen problem #2: Sekvence oblika
Ovaj zadatak (i opet ide dalje od zadataka riješenih na ovom blogu) mi je bacio poznati igrač prije više od 10 godina. Primijetio je jednu zanimljivu osobinu dok je igrao blackjack u Vegasu: kada je izvadio karte iz cipele od 8 špilova, vidio je deset figure u nizu (figura, ili figura karta - 10, džoker, kralj ili kraljica, dakle ima ih 16 u standardnom špilu od 52 karte, dakle ima ih 128 u cipeli od 416 karata). Kolika je vjerovatnoća da u ovoj cipeli najmanje jedan niz od deset ili više figure? Pretpostavimo da su promešani iskreno, slučajnim redosledom. (Ili, ako želite, kolika je vjerovatnoća da nigde nije pronađeno niz od deset ili više figura?)
Možemo pojednostaviti zadatak. Ovdje je niz od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Postoji 128 jedinica i 288 nula nasumično razbacanih po nizu. Koliko postoji načina da se nasumično prepliću 128 1 sa 288 0 i koliko puta će postojati barem jedna grupa od deset ili više 1 na ove načine?
Svaki put kada sam se prihvatio ovog zadatka, činilo mi se lakim i očiglednim, ali čim sam ušao u detalje, odjednom se raspao i činio mi se jednostavno nemogućim. Zato nemojte žuriti da izbacujete odgovor: sedite, dobro razmislite, proučite uslove problema, pokušajte da uključite realne brojeve, jer svi ljudi sa kojima sam razgovarao o ovom problemu (uključujući nekoliko diplomiranih studenata koji rade u ovoj oblasti) reagovao na skoro isti način: "To je sasvim očigledno... oh ne, čekaj, uopšte nije očigledno." To je upravo slučaj za koji nemam metodu za izračunavanje svih opcija. Sigurno bih mogao grubo forsirati problem putem kompjuterskog algoritma, ali bi bilo mnogo zanimljivije znati matematički način rješavanja ovog problema.
Prevod - Y. Tkachenko, I. Mikheeva
Kockice su ljudi koristili hiljadama godina.
U 21. veku, nove tehnologije vam omogućavaju da bacite kocku u bilo koje pogodno vreme, a ako imate pristup Internetu, na pogodnom mestu. Kocka je uvijek sa vama kod kuće ili na putu.
Generator kockica vam omogućava da bacite online od 1 do 4 kocke.
Iskreno bacite kocku na mreži
Kada se koriste prave kockice, mogu se koristiti spretnost ruke ili posebno napravljene kocke s prednošću jedne od strana. Na primjer, možete okretati kocku duž jedne od osi i tada će se distribucija vjerovatnoće promijeniti. Karakteristika naših virtuelnih kocki je upotreba softverskog generatora pseudoslučajnih brojeva. To vam omogućava da pružite zaista slučajnu varijantu ovog ili onog rezultata.
A ako označite ovu stranicu, vaše online kockice neće biti izgubljene nigdje i uvijek će vam biti pri ruci u pravo vrijeme!
Neki ljudi su se prilagodili da koriste online kockice za proricanje ili pravljenje prognoza i horoskopa.
Veselo raspoloženje, dobar dan i sretno!
Najčešći oblik je u obliku kocke na kojoj su na svakoj strani prikazani brojevi od jedan do šest. Igrač, bacivši ga na ravnu površinu, vidi rezultat na gornjoj strani. Kosti su pravi govornik za sreću, sreću ili lošu sreću.
Nesreća.
Kocke (kosti) postoje dugo vremena, ali šestostrani oblik koji je postao tradicionalan stečen je oko 2600. godine prije Krista. e. Stari Grci su voljeli igrati kockice, a u njihovim legendama se kao njihov izumitelj spominje junak Palamed, kojeg je Odisej nepravedno optužio za izdaju. Prema legendi, on je ovu igru izmislio kako bi zabavio vojnike koji su opsjedali Troju, zarobljenu zahvaljujući ogromnom drvenom konju. Rimljani su se u doba Julija Cezara također zabavljali raznim igrama kockica. Na latinskom se kocka zvala datum, što znači "dato".
Zabrane.
U srednjem veku, oko 12. veka, kockice su postale veoma popularne u Evropi: kockice, koje možete svuda poneti sa sobom, popularne su i kod ratnika i kod seljaka. Priča se da je bilo preko šest stotina različitih igara! Proizvodnja kockica postaje posebna profesija. Kralj Luj IX (1214-1270), koji se vratio iz krstaškog rata, nije odobravao kockanje i naredio je zabranu proizvodnje kockica u celom kraljevstvu. Više od same igre, vlast je bila nezadovoljna nemirima koji su s njom povezani - tada su igrali uglavnom po kafanama, a zabave su se često završavale tučama i ubodima noževima. Ali nikakve zabrane nisu spriječile kocku da preživi vrijeme i preživi do danas.
Kosti sa "nabojem"!
Ishod bacanja kocke uvijek je određen slučajnošću, ali neki varalice pokušavaju to promijeniti. Bušenjem rupe u kalupu i ulivanjem olova ili žive u nju, moguće je osigurati da rolna daje isti rezultat svaki put. Takva kocka se naziva "nabijena". Izrađen od raznih materijala, bilo da je u pitanju zlato, kamen, kristal, kost, kockice mogu imati različite oblike. Male kockice u obliku piramide (tetraedra) pronađene su u grobnicama egipatskih faraona koji su gradili velike piramide! U različito vrijeme izrađivale su se kosti sa 8, 10, 12, 20, pa čak i 100 strana. Obično se na njih primjenjuju brojevi, ali se na njihovom mjestu mogu pojaviti i slova ili slike, dajući prostora mašti.
Kako baciti kockice.
Kockice dolaze u ne samo različitim oblicima, već i na različite načine igranja. Pravila nekih igara zahtijevaju da se bacanje baca na određeni način, obično kako bi se izbjeglo izračunato bacanje ili spriječilo da se kockica zaustavi u nagnutom položaju. Ponekad je na njih pričvršćeno posebno staklo kako bi se izbjeglo varanje ili pad sa stola za igre. U engleskoj igri krep, sve tri kockice moraju nužno udariti u sto ili zid, kako ne bi dozvolili varalicama da imitiraju bacanje jednostavnim pomicanjem kocke, ali ne i okretanjem.
Slučajnost i vjerovatnoća.
Kocka uvijek daje slučajan rezultat koji se ne može predvidjeti. Sa jednim kockom, igrač ima isto toliko šansi da baci 1 kao i 6 - sve je određeno slučajno. S druge strane, s dvije kocke, nivo slučajnosti se smanjuje, jer igrač ima više informacija o rezultatu: na primjer, s dvije kocke, broj 7 se može dobiti na nekoliko načina - bacanjem 1 i 6, 5 i 2, ili 4 i 3... Ali mogućnost da dobijete broj 2 je samo jedna: bacite dva puta 1. Dakle, vjerovatnoća da ćete dobiti 7 je veća nego da dobijete 2! To se zove teorija vjerovatnoće. Mnoge igre su povezane s ovim principom, posebno igre za gotovinu.
O upotrebi kockica.
Kockice mogu biti samostalna igra bez drugih elemenata. Jedina stvar koja praktično ne postoji su igre za jednu kocku. Pravila zahtijevaju najmanje dva (npr. krep). Za igranje pokera na kockice potrebno vam je pet kockica, olovka i papir. Cilj je popuniti kombinacije slične kombinacijama istoimene kartaške igre, upisujući bodove za njih u posebnu tabelu. Osim toga, kocka je vrlo popularan dio za društvene igre, koji vam omogućava da premještate žetone ili odlučujete o ishodu bitaka.
Kocka je bačena.
Godine 49. pne. e. mladi Julije Cezar osvojio je Galiju i vratio se u Pompeje. Ali senatori su se plašili njegove moći, koji su odlučili da raspuste njegovu vojsku pre njegovog povratka. Budući car, stigavši na granice republike, odlučuje da prekrši poredak tako što će ga preći sa vojskom. Pre nego što je prešao Rubikon (reku koja je bila granica), rekao je svojim legionarima "Alea jacta est" ("kocka je bačena"). Ova izreka je postala krilatica, čije značenje je da, kao u igri, nakon donošenja nekih odluka više nije moguće odustati.
Koja su tri zakona slučajnosti i zašto nam nepredvidivost daje mogućnost da napravimo najpouzdanija predviđanja.
Naš se um svom snagom opire ideji slučajnosti. U toku naše evolucije kao biološke vrste, razvili smo sposobnost da tražimo uzročno-posledične veze u svemu. Davno prije pojave nauke, već smo znali da grimizni zalazak sunca predstavlja opasnu oluju, a grozničavo rumenilo na licu djeteta znači da će njegova majka imati tešku noć. Naš um automatski pokušava strukturirati podatke koje prima na takav način da nam pomaže da izvučemo zaključke iz naših zapažanja i koristimo te zaključke za razumijevanje i predviđanje događaja.
Ideju nasumičnosti je tako teško prihvatiti jer je u suprotnosti s osnovnim instinktom koji nas tjera da tražimo racionalne obrasce u svijetu oko nas. A nesreće nam samo pokazuju da takvi obrasci ne postoje. To znači da slučajnost u osnovi ograničava našu intuiciju, jer dokazuje da postoje procesi čiji tijek ne možemo u potpunosti predvidjeti. Ovaj koncept nije lako prihvatiti, iako je suštinski dio mehanizma univerzuma. Ne shvatajući šta je slučajnost, nalazimo se u ćorsokaku savršeno predvidljivog sveta koji jednostavno ne postoji izvan naše mašte.
Rekao bih da se tek kada naučimo tri aforizma – tri zakona slučaja – možemo osloboditi svoje primitivne želje za predvidljivošću i prihvatiti univerzum kakav jeste, a ne kakav bismo željeli da bude.
Slučajnost postoji
Koristimo sve mentalne mehanizme kako bismo izbjegli suočavanje sa slučajnošću. Pričamo o karmi, o ovom kosmičkom ekvilajzeru koji povezuje naizgled nepovezane stvari. Vjerujemo u dobre i loše predznake, da "Bog voli trojstvo", tvrdimo da na nas utiču položaji zvijezda, mjesečeve faze i kretanje planeta. Ako nam se dijagnosticira rak, automatski pokušavamo okriviti nešto (ili nekoga) za to.
Ali mnogi događaji se ne mogu u potpunosti predvidjeti ili objasniti. Katastrofe se dešavaju nepredvidivo, a pate i dobri i loši ljudi, uključujući i one koji su rođeni „pod srećnom zvezdom“ ili „pod povoljnim znakom“. Ponekad uspijemo nešto predvidjeti, ali slučajnost lako može opovrgnuti i najpouzdanije prognoze. Nemojte se iznenaditi ako vaš komšija, gojazni, pušač, bezobzirni biciklist, živi duže od vas.
Štaviše, slučajni događaji se mogu pretvarati da nisu slučajni. Čak i najpronicljiviji naučnik može imati poteškoća da napravi razliku između stvarnog efekta i nasumične fluktuacije. Slučajnost može pretvoriti placebo u magični lijek, ili bezopasno jedinjenje u smrtonosni otrov; i čak može stvoriti subatomske čestice ni iz čega.
Neki događaji su nepredvidivi
Ako odete u kazino u Las Vegasu i posmatrate gomilu igrača za igračkim stolovima, vjerovatno ćete danas vidjeti nekoga ko misli da ima sreće. Pobijedio je nekoliko puta zaredom, a mozak ga uvjerava da će i dalje pobjeđivati, pa igrač nastavlja da se kladi. Takođe ćete videti nekoga ko je upravo izgubio. Mozak gubitnika, kao i mozak pobjednika, također mu savjetuje da nastavi igru: pošto ste izgubili toliko puta zaredom, to znači da će vam se sada vjerovatno početi posrećiti. Glupo je otići sada i propustiti ovu priliku.
No, bez obzira na to što nam mozak kaže, ne postoji tajanstvena sila koja bi nam mogla pružiti "sreću" ili univerzalnu pravdu koja bi se pobrinula da gubitnik konačno počne pobjeđivati. Univerzumu nije stalo da li dobijete ili izgubite; za nju su sve kockice iste.
Bez obzira koliko truda uložite gledajući sljedeće bacanje kockica, i koliko god pažljivo pogledali igrače koji misle da su uspjeli iskoristiti svoju sreću, nećete dobiti apsolutno nikakve informacije o sljedećem bacanju. Rezultat svakog bacanja je potpuno nezavisan od istorije prethodnih bacanja. Dakle, svaka kalkulacija da se gledanjem utakmice može postići prednost je osuđena na propast. Takvi događaji - neovisni ni od čega i potpuno nasumični - prkose bilo kakvim pokušajima pronalaženja obrazaca, jer ti obrasci jednostavno ne postoje.
Slučajnost postavlja barijeru na putu ljudske genijalnosti, jer pokazuje da sva naša logika, sva naša nauka i sposobnost rasuđivanja ne mogu u potpunosti predvidjeti ponašanje svemira. Koje god metode da koristite, koju god teoriju izmislite, koju god logiku primenite da predvidite ishod bacanja kocke, pet od šest puta ćete izgubiti. Uvijek.
Skup slučajnih događaja je predvidljiv, čak i ako pojedinačni događaji nisu.
Slučajnost je zastrašujuća, ograničava pouzdanost čak i najsofisticiranijih teorija i skriva od nas određene elemente prirode, ma koliko uporno pokušavali da proniknemo u njihovu suštinu. Ipak, ne može se tvrditi da je slučajno sinonim za nespoznatljivo. Ovo uopšte nije tačno.
Slučajnost se pokorava sopstvenim pravilima, a ta pravila čine slučajni proces razumljivim i predvidljivim.
Zakon velikih brojeva kaže da iako su pojedinačni slučajni događaji potpuno nepredvidivi, dovoljno veliki uzorak ovih događaja može biti prilično predvidljiv – a što je veći uzorak, to je predviđanje preciznije. Još jedno moćno matematičko sredstvo, centralne granične teoreme, također pokazuje da će zbir dovoljno velikog broja slučajnih varijabli imati distribuciju blisku normalnoj. Pomoću ovih alata možemo prilično precizno predvidjeti događaje na dugi rok, bez obzira koliko haotični, čudni i nasumični bili kratkoročno.
Pravila slučajnosti su toliko moćna da čine osnovu najnepokolebljivijih i nepromenljivih zakona fizike. Iako se atomi u posudi s plinom kreću nasumično, njihovo općenito ponašanje je opisano jednostavnim skupom jednadžbi. Čak i zakoni termodinamike proizlaze iz predvidljivosti velikog broja slučajnih događaja; ovi zakoni su nepokolebljivi upravo zato što je slučajnost tako apsolutna.
Paradoksalno, nepredvidljivost nasumičnih događaja nam omogućava da napravimo najpouzdanija predviđanja.