>

Dokazati paralelne prave. Duž. Paralelne linije. Osnovni koncepti

Znakovi paralelizma dvije prave

Teorema 1. Ako je u presjeku dva prava sekante:

    dijagonalno ležeći uglovi su jednaki, ili

    odgovarajući uglovi su jednaki, ili

    tada je zbir jednostranih uglova 180°

prave su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokaz slučaja 1.

Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB uglovi koji leže jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i, prema tome, jedan od uglova 4 ili 6 će biti vanjski ugao trougla ABM. Neka je, radi određenosti, ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su stoga paralelne.

Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoj prvi naziv jer se na početku rasuđivanja postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) od onoga što je potrebno dokazati. To se naziva svođenjem do apsurda zbog činjenice da, argumentujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (apsurda). Primanje takvog zaključka primorava nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.

Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).

Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.

Iz razmatranog problema slijedi važan zaključak:
Kroz tačku koja nije na datoj pravoj, uvijek se može povući prava paralelna datoj pravoj..

Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja nije na datoj pravoj, postoji samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).

2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).

Sljedeća teorema je također tačna.

Teorema 2. Ako su dvije paralelne prave presečene sekantom, tada:

    ležeći uglovi su jednaki;

    odgovarajući uglovi su jednaki;

    zbir jednostranih uglova je 180°.

Posljedica 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu.(vidi sl.2).

Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverz, tj. ako je data teorema tačna, tada inverzna teorema može biti netačna.

Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Inverzna teorema bi bila ova: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednaka ugla uopšte ne moraju biti vertikalna.

Primjer 1 Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite te uglove.

Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.

U ovom članku ćemo govoriti o paralelnim linijama, dati definicije, označiti znakove i uvjete paralelizma. Radi jasnoće teorijskog materijala koristit ćemo ilustracije i rješenja tipičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Paralelne prave u ravni su dvije prave u ravni koje nemaju zajedničkih tačaka.

Definicija 2

Paralelne linije u 3D prostoru- dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničke tačke.

Treba napomenuti da je za određivanje paralelnih pravih u prostoru izuzetno važno pojašnjenje „leže u istoj ravni“: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelno, ali ukrštanje.

Za označavanje paralelnih pravih uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su date prave a i b paralelne, ovaj uslov treba ukratko napisati na sledeći način: a ‖ b . Verbalno, paralelnost pravih se označava na sljedeći način: prave a i b su paralelne, ili prava a paralelna pravoj b, ili prava b paralelna pravoj a.

Hajde da formulišemo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.

Aksiom

Kroz tačku koja ne pripada datoj pravoj, postoji samo jedna prava paralelna datoj pravoj. Ova tvrdnja se ne može dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije.

U slučaju kada je u pitanju prostor, tačna je teorema:

Teorema 1

Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne pripada datoj pravoj, biće samo jedna prava paralelna datoj.

Ovu teoremu je lako dokazati na osnovu gornjeg aksioma (program geometrije za 10-11 razred).

Znak paralelizma je dovoljan uslov pod kojim su paralelne prave zagarantovane. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da potvrdi činjenicu paralelizma.

Konkretno, postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih u ravni i u prostoru. Objasnimo: neophodno znači uslov čije je ispunjenje neophodno za paralelne prave; ako nije zadovoljeno, prave nisu paralelne.

Sumirajući, neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih je takav uslov čije je poštovanje neophodno i dovoljno da prave budu međusobno paralelne. S jedne strane, ovo je znak paralelizma, s druge strane, svojstvo svojstveno paralelnim linijama.

Prije nego što damo preciznu formulaciju potrebnih i dovoljnih uvjeta, podsjetit ćemo se na još nekoliko dodatnih pojmova.

Definicija 3

sekantna linija je prava koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.

Presijecajući dvije prave linije, sekansa formira osam neproširenih uglova. Da bismo formulirali potreban i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste uglova kao što su poprečni, odgovarajući i jednostrani. Hajde da ih demonstriramo na ilustraciji:

Teorema 2

Ako dvije prave na ravni sijeku sekantu, tada je da bi date prave bile paralelne potrebno je i dovoljno da poprečni uglovi budu jednaki, ili odgovarajući uglovi jednaki, ili zbir jednostranih uglova jednak 180 stepeni.

Grafički ilustrujmo neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave na ravni:

Dokaz ovih uslova je prisutan u programu geometrije za 7-9 razred.

Uopšteno govoreći, ovi uslovi su takođe primenjivi za trodimenzionalni prostor, pod uslovom da dve prave i sekansa pripadaju istoj ravni.

Istaknimo još nekoliko teorema koje se često koriste u dokazivanju činjenice da su prave paralelne.

Teorema 3

U ravni su dvije prave paralelne s trećom paralelne jedna s drugom. Ova karakteristika je dokazana na osnovu gore pomenutog aksioma paralelizma.

Teorema 4

U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.

Dokaz atributa se izučava u programu geometrije za 10. razred.

Dajemo ilustraciju ovih teorema:

Naznačimo još jedan par teorema koje dokazuju paralelizam pravih.

Teorema 5

U ravni, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.

Formulirajmo slično za trodimenzionalni prostor.

Teorema 6

U trodimenzionalnom prostoru, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.

Ilustrujmo:

Sve gore navedene teoreme, znaci i uslovi omogućavaju praktično dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. Odnosno, da bi se dokazala paralelnost pravih, može se pokazati da su odgovarajući uglovi jednaki, ili dokazati činjenicu da su dvije date prave okomite na treću, i tako dalje. Ali napominjemo da je često zgodnije koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelizma linija u ravni ili u trodimenzionalnom prostoru.

Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu, prava je određena jednadžbom prave linije na ravni jednog od mogućih tipova. Slično, prava linija data u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednačinama prave u prostoru.

Napišimo potrebne i dovoljne uslove za paralelnost pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu, u zavisnosti od tipa jednačine koja opisuje date prave.

Počnimo od uslova paralelnih pravih u ravni. Zasnovan je na definicijama vektora smjera prave i vektora normale linije u ravni.

Teorema 7

Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne na ravni, potrebno je i dovoljno da vektori smjera datih pravih budu kolinearni, ili da su vektori normale datih pravi kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na vektor normale druge linije.

Postaje očigledno da se uslov paralelnih pravih na ravni zasniva na uslovu kolinearnih vektora ili uslovu okomitosti dva vektora. To jest, ako su a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) vektori pravca a i b;

i n b → = (n b x , n b y) su normalni vektori pravih a i b , tada zapisujemo gornji neophodan i dovoljan uslov na sljedeći način: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ili n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate usmjeravajućih ili direktnih vektora određene su datim jednačinama pravih. Razmotrimo glavne primjere.

  1. Prava a u pravougaonom koordinatnom sistemu određena je opštom jednačinom prave: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; prava b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Tada će normalni vektori datih linija imati koordinate (A 1 , B 1) i (A 2 , B 2) respektivno. Zapisujemo uslov paralelizma na sljedeći način:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

  1. Prava linija a opisuje se jednadžbom prave linije sa nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Prava linija b - y \u003d k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori datih linija imati koordinate (k 1 , - 1) i (k 2 , - 1), respektivno, a uslov paralelizma zapisujemo na sljedeći način:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Dakle, ako su paralelne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu date jednačinama sa koeficijentima nagiba, tada će koeficijenti nagiba datih pravih biti jednaki. I obrnuta izjava je tačna: ako su nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu određene jednadžbama prave sa istim koeficijentima nagiba, onda su ove date prave paralelne.

  1. Prave a i b u pravougaonom koordinatnom sistemu date su kanonskim jednačinama prave na ravni: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednačinama prave na ravni: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y i x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Tada će vektori smjera datih linija biti: a x , a y i b x , b y redom, a uvjet paralelizma zapisujemo na sljedeći način:

a x = t b x a y = t b y

Pogledajmo primjere.

Primjer 1

Date su dvije linije: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1 . Morate odrediti da li su paralelni.

Rješenje

Zapisujemo jednačinu prave u segmentima u obliku opšte jednačine:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo da je n a → = (2 , - 3) vektor normale prave 2 x - 3 y + 1 = 0 , a n b → = 2 , 1 5 je vektor normale prave x 1 2 + y 5 = 1 .

Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost t za koju će jednakost biti tačna:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dakle, nužan i dovoljan uslov paralelnosti pravih na ravni nije zadovoljen, što znači da date prave nisu paralelne.

odgovor: date prave nisu paralelne.

Primjer 2

Date prave y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2 . Jesu li paralelne?

Rješenje

Pretvorimo kanonsku jednadžbu ravne linije x 1 \u003d y - 4 2 u jednadžbu ravne linije s nagibom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo da jednačine pravih y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, prave bi bile iste) i da su nagibi pravih jednaki, što znači da date prave su paralelne.

Pokušajmo drugačije riješiti problem. Prvo provjeravamo da li se date linije poklapaju. Koristimo bilo koju tačku prave y = 2 x + 1, na primjer, (0, 1) , koordinate ove tačke ne odgovaraju jednadžbi linije x 1 = y - 4 2, što znači da linije se ne poklapaju.

Sljedeći korak je utvrđivanje ispunjenosti uvjeta paralelizma za date prave.

Vektor normale prave y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor pravca druge date linije je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora je nula:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Dakle, vektori su okomiti: ovo nam pokazuje ispunjenje potrebnog i dovoljnog uslova da originalne prave budu paralelne. One. date prave su paralelne.

odgovor: ove prave su paralelne.

Za dokazivanje paralelnosti pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora koristi se sledeći neophodan i dovoljan uslov.

Teorema 8

Da bi dvije nepodudarne prave u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih linija budu kolinearni.

One. za date jednadžbe pravaca u trodimenzionalnom prostoru, odgovor na pitanje: da li su paralelne ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora pravca datih linija, kao i provjerom uslova njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) vektori pravca a i b, redom, onda da bi one bile paralelne, postojanje takvog realnog broja t je neophodan, tako da vrijedi jednakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primjer 3

Date linije x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravih.

Rješenje

Uslovi problema su kanonske jednačine jedne prave u prostoru i parametarske jednačine druge prave u prostoru. Vektori pravca a → i b → date linije imaju koordinate: (1 , 0 , - 3) i (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , tada je a → = 1 2 b → .

Dakle, neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave u prostoru je zadovoljen.

odgovor: paralelnost datih pravih je dokazana.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Koje leže u istoj ravni i ili se poklapaju ili se ne sijeku. U nekim školskim definicijama, podudarne prave se ne smatraju paralelnim; ovakva definicija se ovdje ne razmatra.

Svojstva

  1. Paralelizam je binarna relacija ekvivalencije, dakle, dijeli cijeli skup linija na klase linija koje su paralelne jedna s drugom.
  2. Kroz bilo koju datu tačku može biti tačno jedna prava paralelna datoj. Ovo je karakteristično svojstvo euklidske geometrije, u drugim geometrijama broj 1 je zamijenjen drugim (u geometriji Lobačevskog postoje najmanje dvije takve linije)
  3. 2 paralelne prave u prostoru leže u istoj ravni.
  4. Kada se dvije paralelne prave seku, poziva se treća linija secant:
    1. Sekansa mora preseći obe prave.
    2. Prilikom križanja formira se 8 uglova, od kojih neki karakteristični parovi imaju posebna imena i svojstva:
      1. Unakrsno laganje uglovi su jednaki.
      2. Odnosno uglovi su jednaki.
      3. Jednostrano uglovi su zbirni do 180°.

U geometriji Lobačevskog

U geometriji Lobačevskog u ravni kroz tačku Nije moguće raščlaniti izraz (leksička greška): Cizvan ove linije AB

Postoji beskonačan broj pravih linija koje se ne seku AB. Od ovih, paralelno sa AB samo dva su imenovana.

Pravo CE naziva se jednakokračna (paralelna) prava AB u pravcu od A to B, ako:

  1. bodova B i E leže na jednoj strani prave linije AC ;
  2. ravno CE ne prelazi granicu AB, ali bilo koja zraka koja prolazi unutar ugla ACE, prelazi gredu AB .

Slično, prava linija, jednakokračna AB u pravcu od B to A .

Sve ostale prave koje ne sijeku datu se nazivaju ultra-paralelno ili divergentan.

vidi takođe


Wikimedia Foundation. 2010 .

  • Ukrštene linije
  • Nesterihin, Jurij Efremovič

Pogledajte šta su "paralelne linije" u drugim rječnicima:

    PARALELNE PRAVE- PARALELNE PRAVE, prave koje se ne seku u istoj ravni... Moderna enciklopedija

    PARALELNE PRAVE Veliki enciklopedijski rječnik

    Paralelne linije- PARALELNE PRAVE, prave koje se ne seku u istoj ravni. … Ilustrovani enciklopedijski rječnik

    Paralelne linije- u euklidskoj geometriji, prave koje leže u istoj ravni i ne seku se. U apsolutnoj geometriji (vidi Apsolutna geometrija) kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi barem jedna prava koja ne siječe datu pravu. NA… … Velika sovjetska enciklopedija

    paralelne linije su prave koje se ne seku i leže u istoj ravni. * * * PARALELNE PRAVE PARALNE PRAVE, prave koje se ne seku u istoj ravni... enciklopedijski rječnik

    PARALELNE PRAVE- u euklidskoj geometriji, prave koje leže u istoj ravni i ne seku se. U apsolutnoj geometriji, kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, prolazi barem jedna prava koja ne siječe datu pravu. U euklidskoj geometriji postoji samo jedan ... ... Mathematical Encyclopedia

    PARALELNE PRAVE prave koje se ne seku i leže u istoj ravni... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

    Paralelni svetovi u fantaziji- Ovaj članak može sadržavati originalno istraživanje. Dodajte linkove na izvore, inače se može staviti na brisanje. Više informacija može biti na stranici za razgovor. Ovo je... Wikipedia

    Parallel Worlds- Paralelni svet (u fantaziji) je realnost koja nekako postoji istovremeno sa našom, ali nezavisno od nje. Ova samostalna stvarnost može se kretati po veličini od male geografske oblasti do cijelog svemira. Paralelno... Wikipedia

    Paralelno- prave Prave se nazivaju prave ako se ni one ni njihove produžetke međusobno ne seku. Vijesti jedne od ovih pravih linija su na istoj udaljenosti od druge. Međutim, uobičajeno je reći da se dvije prave sijeku u beskonačnosti. Takav… … Enciklopedija Brockhausa i Efrona

Knjige

  • Set stolova. Matematika. 6. razred. 12 tabela + metodologija, . Tabele su štampane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet sadrži brošuru sa metodološkim preporukama za nastavnike. Edukativni album od 12 listova. djeljivost…

1. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne:

Ako a a||c i b||c, onda a||b.

2. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne:

Ako a a⊥c i b⊥c, onda a||b.

Preostali znaci paralelizma pravih zasnovani su na uglovima koji se formiraju na preseku dve prave sa trećinom.

3. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, onda a||b.

4. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠2 = ∠4, onda a||b.

5. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 = ∠3, onda a||b.

Svojstva paralelnih pravih

Izjave koje su inverzne znakovima paralelizma pravih su njihova svojstva. Oni se zasnivaju na svojstvima uglova formiranih presekom dve paralelne prave sa trećom linijom.

1. Kada se dvije paralelne prave sijeku s trećom pravom, zbir unutarnjih jednostranih uglova formiranih njima je 180°:

Ako a a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kada se dvije paralelne prave seku s trećom pravom, odgovarajući uglovi formirani od njih su jednaki:

Ako a a||b, tada je ∠2 = ∠4.

3. Na presjeku dvije paralelne prave sa trećom pravom, uglovi koji se formiraju od njih poprečno su jednaki:

Ako a a||b, tada je ∠1 = ∠3.

Sljedeće svojstvo je poseban slučaj svakog prethodnog:

4. Ako je prava na ravni okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu:

Ako a a||b i c⊥a, onda c⊥b.

Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravih:

5. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

Uputstvo

Prije nego započnete dokaz, uvjerite se da prave leže u istoj ravni i da se na njoj mogu nacrtati. Najjednostavniji način dokazivanja je metoda mjerenja ravnalom. Da biste to učinili, pomoću ravnala izmjerite razmak između pravih linija na nekoliko mjesta što je više moguće. Ako rastojanje ostane isto, date prave su paralelne. Ali ova metoda nije dovoljno precizna, pa je bolje koristiti druge metode.

Nacrtajte treću liniju tako da siječe obje paralelne prave. Sa njima formira četiri vanjska i četiri unutrašnja ugla. Razmotrite unutrašnje uglove. Oni koji leže kroz sekuntnu liniju nazivaju se unakrsno ležećim. One koje leže na jednoj strani nazivaju se jednostranim. Koristeći kutomjer, izmjerite dva unutrašnja dijagonalna ugla. Ako su jednake, tada će prave biti paralelne. Ako ste u nedoumici, izmjerite jednostrane unutrašnje uglove i zbrojite rezultirajuće vrijednosti. Prave će biti paralelne ako je zbir jednostranih unutrašnjih uglova jednak 180º.

Ako nemate kutomjer, koristite kvadrat od 90º. Koristite ga za konstruiranje okomite na jednu od linija. Nakon toga, nastavite ovu okomicu na način da siječe drugu liniju. Koristeći isti kvadrat, provjerite pod kojim uglom je seče ova okomita. Ako je i ovaj ugao jednak 90º, tada su linije paralelne jedna s drugom.

U slučaju da su linije date u Dekartovom koordinatnom sistemu, pronađite njihove vodilice ili normalne vektore. Ako su ovi vektori, respektivno, kolinearni jedan s drugim, tada su linije paralelne. Dovedite jednadžbu linija u opći oblik i pronađite koordinate vektora normale svake od linija. Njegove koordinate su jednake koeficijentima A i B. U slučaju da je odnos odgovarajućih koordinata vektora normale isti, oni su kolinearni, a prave paralelne.

Na primjer, prave su date jednadžbama 4x-2y+1=0 i x/1=(y-4)/2. Prva jednačina je opšteg oblika, druga je kanonska. Dovedite drugu jednačinu u opći oblik. Za ovo koristite pravilo konverzije proporcija i na kraju ćete dobiti 2x=y-4. Nakon svođenja na opšti oblik, dobijete 2x-y + 4 = 0. Pošto je opšta jednačina za bilo koju liniju napisana Ax + Vy + C = 0, onda je za prvi red: A = 4, B = 2, a za drugi red A = 2, B = 1. Za prvu direktnu koordinatu vektora normale (4;2), a za drugu - (2;1). Pronađite omjer odgovarajućih koordinata vektora normale 4/2=2 i 2/1=2. Ovi brojevi su jednaki, što znači da su vektori kolinearni. Pošto su vektori kolinearni, prave su paralelne.