TEKST TRANSKRIPTA ČASA:
Ako se kroz tačku u prostoru povuku tri uparne okomite prave, na svakoj od kojih se bira pravac i jedinični segment, onda kažu da je određen pravougaoni koordinatni sistem u prostoru.
Prave s odabranim smjerovima na njima nazivaju se koordinatne osi i označavaju se na sljedeći način: Ox, Oy, Oz, imaju svoje nazive: osa apscisa, osa ordinata i osa primjene, a njihova zajednička točka je ishodište koordinata. Obično se označava slovom O.
Cijeli koordinatni sistem je označen kao Oxyz.
Ako se ravnine povlače kroz koordinatne ose Ox i Oy, Oy i Oz, Oz i Ox, tada će se takve ravni zvati koordinatne ravnine i označavati: Oxy, Oyz, Ozx, respektivno.
Tačka O dijeli svaku od koordinatnih ose na dvije zrake. Zraka čiji se smjer poklapa sa smjerom ose naziva se pozitivna poluosa, a druga zraka se naziva negativna polu-osa.
U pravougaonom koordinatnom sistemu svaka tačka M u prostoru povezana je sa trostrukom brojeva, koji se nazivaju njenim koordinatama. One se određuju slično kao i koordinate tačaka na ravni.
Da vidimo kako se to radi.
Provucimo tri ravni kroz tačku M, okomitu na koordinatne ose, i označimo sa M₁, M₂ i M₃ tačke preseka ovih ravni, respektivno, sa apscisnom, ordinatnom i aplikativnom osom.
Prva koordinata tačke M (naziva se apscisa i obično se označava slovom x) je definisana na sledeći način: x = OM₁, ako je M₁ tačka pozitivne polu-ose;
x= - OM₁, ako je M₁ tačka negativne poluose; x =0 ako se M₁ poklapa sa tačkom O.
Slično, koristeći tačku M₂, određuje se druga koordinata (ordinata) u tački M,
i pomoću tačke M₃ - treća koordinata (primjena) z tačke M.
Koordinate tačke M upisuju se u zagradi iza oznake tačke M (x; y; z).
Zapamtite da je apscisa prva označena, ordinata druga, a aplikacija treća.
Nađimo koordinate tačaka A, B, C, D, E, F, prikazanih na slici.
Nacrtajmo tri ravni kroz tačku A, okomito na koordinatne ose, tada će tačke preseka ovih ravnina sa apscisom, ordinatom i aplikativnom osom biti koordinate tačke A. Tačka A ima koordinate: apscisa = 9, ordinata = 5, primjena = 10 i piše se ovako: A (9; 5; 10).
Slično se pišu koordinate sljedećih tačaka:
Tačka B ima koordinate: apscisa = 4, ordinata = -3, aplikat = 6
Tačka C ima koordinate: apscisa = 9, ordinata = 0, aplikat = 0
Tačka ima D koordinate: apscisa = 4, ordinata = 0, aplikat = 5
Tačka E ima koordinate: apscisa = 0, ordinata = 8, aplikat = 0
Tačka F ima koordinate: apscisa = 0, ordinata = 0, primjena = -3
Ako tačka M (x; y; z) leži na koordinatnoj ravni na koordinatnoj osi, tada su neke od njenih koordinata jednake nuli.
Ako MÊOhu (tačka M pripada Oxy ravni), onda je primjena tačke M jednaka nuli: z=0.
Slično, ako MÊOhz (tačka M pripada ravni Oxz), tada je y = 0, a ako MÊOuz (tačka M pripada ravni Oyz), tada je x = 0.
Ako MÊOh (tačka M leži na osi apscise), ordinata i aplikacija tačke M jednaki su nuli: y=o i z=0. U našem primjeru, ovo je tačka C.
Ako MÊOu (tačka M leži na ordinati), tada je x=0 i z=0. U našem primjeru, ovo je tačka E.
Ako MÊOz (tačka M leži na aplikativnoj osi), tada je x = 0 i y = 0. U našem primjeru, ovo je tačka F.
Ako su sve tri koordinate tačke M jednake nuli, to znači da je M=O (0; 0; 0) ishodište koordinata.
Date koordinate četiri vrha kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A 1 (1; 0; 0). Pronađite koordinate preostalih vrhova kocke.
Pošto je figura kocka, sve strane su jednake jednoj, sva lica su kvadrati.
Tačka C pripada Oxy ravni, odnosno njena z koordinata je jednaka nuli, x koordinata je jednaka strani CD i jednaka je AB, što znači da je jednaka jedan, koordinata Y je jednaka strani kocke CB, što znači da je jednaka AD i jednaka je jedan.
Slično, tačka B 1 pripada ravni Oxz, odnosno njena y koordinata je jednaka nuli, x koordinata je jednaka strani, x koordinata je jednaka strani A1B1 i jednaka je AB, što znači jednaka jedan, z koordinata je jednaka stranici kocke B B1, što znači jednaka AA1 i jednaka jedan.
Tačka D 1 pripada ravni Oyz, odnosno njena x koordinata je jednaka nuli, y koordinata je jednaka strani A 1 D 1 i jednaka je AD, što znači da je jednaka jedan, z koordinata je jednaka na stranu kocke A 1 B 1, što znači da je jednaka AB i jednaka je jedan.
Tačka C 1 ne pripada nijednoj ravni, odnosno sve koordinate su različite od nule, x koordinata je jednaka strani C 1 D 1 i jednaka je AB, što znači da je jednaka jedinici, koordinata y je jednaka stranici kocke B 1 C 1, što znači da je jednaka AD i jednaka je jedan, a z koordinata je jednaka strani CC 1, odnosno AA 1 i takođe je jednaka jedan.
Naći koordinate projekcija tačke C(; ;) na koordinatne ravni Oxy, Oxz, Oyz i koordinatne ose Ox, Oy, Oz.
1) spustimo okomite na Oxy ravan - ovo je CN, na Oxz ravan - CL, i na Oyz ravan - prava CR.
Dakle, projekcija tačke C na ravan Oxy je tačka N i ima koordinate x jednake minus korenu od tri, y jednakom minus korenu od dva po dva, z jednako nuli.
Projekcija tačke C na ravan Oxz je tačka L i ima koordinate x je jednako minus korijen od tri, y je jednako nuli, z je jednako korijenu od pet minus korijen od tri.
Projekcija tačke C na ravan Oyz je tačka R i ima koordinate x jednake nuli, y je jednako minus korijenu dva po dva, z je jednako korijenu pet minus korijenu tri.
2) Iz tačke N povučemo okomite na osu Ox - prava NK, a na Oy - prava NG, a na osu Oz povučemo okomicu iz tačke R - to je prava linija RP.
Projekcija tačke C na osu Ox - tačka K ima koordinate x jednake minus koren od tri, a y i z jednake nuli.
Projekcija tačke C na osu Oy - tačka G ima koordinate x i z jednake nuli, i je jednako minus korijen od dva po dva.
Projekcija tačke C na osu Oz - tačka P ima koordinate x i y jednake nuli, z jednako korijenu od pet minus korijen od tri.
Pravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose X’X i Y’Y. Koordinatne osi se sijeku u tački O, koja se zove ishodište, na svakoj osi se bira pozitivan smjer. Pozitivan smjer osi (u desnorukom koordinatnom sistemu) se bira tako da kada se os X'X rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njegov pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom Y'Y ose. Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih ose X'X i Y'Y nazivaju se koordinatni uglovi (vidi sliku 1).
Položaj tačke A na ravni određen je sa dvije koordinate x i y. Koordinata x je jednaka dužini segmenta OB, koordinata y jednaka je dužini segmenta OC u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB i OC su definisani linijama povučenim iz tačke A paralelno sa Y’Y i X’X osovinama, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, koordinata y se naziva ordinata tačke A. Piše se na sledeći način: A(x, y).
Ako tačka A leži u koordinatnom uglu I, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu II, tada tačka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu III, tada tačka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu IV, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.
Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY i OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koja se naziva ishodište, na svakoj osi je odabran pozitivan smjer, označen strelicama, i jedinica mjere za segmente na osi. Jedinice mjere su iste za sve ose. OX - apscisa osa, OY - ordinatna osa, OZ - aplikatna osa. Pozitivan smjer osi se bira tako da kada se os OX zarotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njen pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra iz pozitivnog smjera OZ ose. Takav koordinatni sistem se naziva desnoruki. Ako se palac desne ruke uzme kao X smjer, kažiprst kao Y smjer, a srednji prst kao Z smjer, tada se formira desnoruki koordinatni sistem. Slični prsti lijeve ruke formiraju lijevi koordinatni sistem. Nemoguće je kombinovati desni i levi koordinatni sistem tako da se odgovarajuće ose poklapaju (vidi sliku 2).
Položaj tačke A u prostoru određen je sa tri koordinate x, y i z. Koordinata x je jednaka dužini segmenta OB, koordinata y je dužina segmenta OC, koordinata z je dužina segmenta OD u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB, OC i OD su definisani ravninama povučenim iz tačke A paralelno sa ravnima YOZ, XOZ i XOY, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, y koordinata se naziva ordinata tačke A, koordinata z se naziva aplikata tačke A. Piše se na sledeći način: A(a, b, c).
Orty
Pravougaoni koordinatni sistem (bilo koje dimenzije) je takođe opisan skupom jediničnih vektora poravnatih sa koordinatnim osa. Broj jediničnih vektora jednak je dimenziji koordinatnog sistema i svi su okomiti jedni na druge.
U trodimenzionalnom slučaju takvi jedinični vektori se obično označavaju i j k ili e x e y e z. U ovom slučaju, u slučaju desnog koordinatnog sistema, važe sledeće formule sa vektorskim proizvodom vektora:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Priča
Pravougaoni koordinatni sistem prvi je uveo Rene Descartes u svom djelu “Rasprava o metodi” 1637. godine. Stoga se pravougaoni koordinatni sistem naziva i - Dekartov koordinatni sistem. Koordinatna metoda opisivanja geometrijskih objekata označila je početak analitičke geometrije. Pierre Fermat je također doprinio razvoju metode koordinata, ali su njegovi radovi prvi put objavljeni nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo na ravni.
Koordinatni metod za trodimenzionalni prostor prvi je upotrebio Leonhard Euler još u 18. veku.
vidi takođe
Linkovi
Wikimedia fondacija. 2010.
Pogledajte šta je "Kartezijanski koordinatni sistem" u drugim rječnicima:
KARTEZIJANSKI KOORDINATNI SISTEM, pravolinijski koordinatni sistem na ravni ili u prostoru (obično sa međusobno okomitim osama i jednakim razmjerima duž osa). Ime je dobio po R. Descartesu (vidi DESCARTES Rene). Descartes je prvi predstavio... enciklopedijski rječnik
KARTEZIJANSKI KOORDINATNI SISTEM- pravougaoni koordinatni sistem na ravni ili u prostoru, u kojem su skale duž osa iste, a koordinatne ose međusobno okomite. D. s. K. se označava slovima x:, y za tačku na ravni ili x, y, z za tačku u prostoru. (Cm.… …
KARTEZIAN KOORDINATNI SISTEM, sistem koji je uveo Rene DESCARTES, u kojem je položaj tačke određen rastojanjem od nje do linija (ose) koje se međusobno seku. U najjednostavnijoj verziji sistema, ose (označene x i y) su okomite.... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik
Dekartov koordinatni sistem
Pravolinijski koordinatni sistem (vidi Koordinate) na ravni ili u prostoru (obično sa jednakim razmjerima duž osa). I sam R. Descartes u “Geometriji” (1637) koristio je samo koordinatni sistem na ravni (općenito, kosi). Često… … Velika sovjetska enciklopedija
Skup definicija koji implementira metodu koordinata, odnosno način određivanja položaja točke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju položaj određene tačke naziva se koordinate ove tačke. U... ... Wikipediji
kartezijanski sistem- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kartezijanski sistem; Dekartov sistem koordinata vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Dekartov sistem, f; Kartezijanski sistem... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDINATNI SISTEM- skup uslova koji određuju položaj tačke na pravoj liniji, na ravni, u prostoru. Postoje različiti sferni oblici: kartezijanski, kosi, cilindrični, sferni, krivolinijski itd. Linearne i ugaone veličine koje određuju položaj... ... Velika politehnička enciklopedija
Ortonormirani pravolinijski koordinatni sistem u Euklidskom prostoru. D.p.s. na ravni je određen s dvije međusobno okomite ravne koordinatne ose, na svakoj od kojih je izabran pozitivan smjer i segment jedinice ... Mathematical Encyclopedia
Pravougaoni koordinatni sistem je pravolinijski koordinatni sistem sa međusobno okomitim osama na ravni ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sistem. Vrlo lako i direktno sažeto za... ... Wikipediju
Knjige
- Računarska dinamika fluida. Teorijska osnova. Udžbenik, Valerij Aleksejevič Pavlovski, Dmitrij Vladimirovič Nikuščenko. Knjiga je posvećena sistematskom prikazu teorijskih osnova za postavljanje problema matematičkog modeliranja strujanja tečnosti i gasova. Posebna pažnja posvećena je pitanjima izgradnje...
Ako uvedemo koordinatni sistem na ravni ili u trodimenzionalni prostor, moći ćemo opisati geometrijske figure i njihova svojstva pomoću jednačina i nejednačina, odnosno moći ćemo koristiti algebarske metode. Stoga je koncept koordinatnog sistema veoma važan.
U ovom članku ćemo pokazati kako je pravokutni Dekartov koordinatni sistem definiran na ravni i u trodimenzionalnom prostoru i saznati kako se određuju koordinate tačaka. Radi jasnoće dajemo grafičke ilustracije.
Navigacija po stranici.
Pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem na ravni.
Hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem na ravni.
Da biste to učinili, nacrtajte dvije međusobno okomite linije na ravni i odaberite na svakoj od njih pozitivnog smjera, označavajući ga strelicom, i odaberite na svakom od njih skala(jedinica dužine). Označimo točku presjeka ovih linija slovom O i razmotrimo je polazna tačka. Dakle, dobili smo pravougaoni koordinatni sistem na površini.
Svaka od pravih linija sa odabranim ishodištem O, smjerom i razmjerom se zove koordinatna linija ili koordinatna osa.
Pravougaoni koordinatni sistem na ravni obično se označava sa Oxy, gde su Ox i Oy njegove koordinatne ose. Osa Ox se zove x-osa, i Oy osa – y-osa.
Sada se dogovorimo oko slike pravougaonog koordinatnog sistema na ravni.
Tipično, jedinica mjerenja dužine na osi Ox i Oy se bira da bude ista i iscrtava se od početka na svakoj koordinatnoj osi u pozitivnom smjeru (označeno crticom na koordinatnim osa, a jedinica je napisana pored to), os apscise je usmjerena udesno, a osa ordinata usmjerena je prema gore. Sve ostale opcije za smjer koordinatnih osa svode se na zvučnu (os Ox - desno, Oy osa - gore) rotacijom koordinatnog sistema pod određenim uglom u odnosu na ishodište i gledanjem sa druge strane aviona (ako je potrebno).
Pravougaoni koordinatni sistem se često naziva kartezijanskim, jer ga je prvi put u ravan uveo Rene Descartes. Još češće, pravougaoni koordinatni sistem se naziva pravougaoni Dekartov koordinatni sistem, stavljajući sve zajedno.
Pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru.
Pravougaoni koordinatni sistem Oxyz postavljen je na sličan način u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, samo što se ne uzimaju dve, već tri međusobno okomite prave. Drugim riječima, koordinatnim osama Ox i Oy dodaje se koordinatna osa Oz, koja se naziva axis applicate.
U zavisnosti od smjera koordinatnih osa razlikuju se desni i lijevi pravougaoni koordinatni sistemi u trodimenzionalnom prostoru.
Ako se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox prema pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva u pravu.
Ako se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox prema pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva lijevo.
Koordinate tačke u kartezijanskom koordinatnom sistemu na ravni.
Prvo, razmotrite koordinatnu pravu Ox i uzmite neku tačku M na njoj.
Svaki realan broj odgovara jednoj tački M na ovoj koordinatnoj liniji. Na primjer, točka koja se nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od početka u pozitivnom smjeru odgovara broju , a broj -3 odgovara tački koja se nalazi na udaljenosti od 3 od ishodišta u negativnom smjeru. Broj 0 odgovara početnoj tački.
S druge strane, svaka tačka M na koordinatnoj liniji Ox odgovara realnom broju. Ovaj realni broj je nula ako se tačka M poklapa sa ishodištem (tačka O). Ovaj realni broj je pozitivan i jednak je dužini segmenta OM na datoj skali ako se tačka M udalji od početka u pozitivnom smjeru. Ovaj realni broj je negativan i jednak je dužini odsječka OM sa predznakom minus ako se tačka M ukloni od početka u negativnom smjeru.
Broj je pozvan koordinata tačke M na koordinatnoj liniji.
Sada razmotrite ravan sa uvedenim pravougaonim Kartezijanskim koordinatnim sistemom. Označimo proizvoljnu tačku M na ovoj ravni.
Neka je projekcija tačke M na pravu Ox, a neka je projekcija tačke M na koordinatnu liniju Oy (ako je potrebno, pogledajte članak). Odnosno, ako kroz tačku M povučemo linije okomite na koordinatne ose Ox i Oy, tada su tačke preseka ovih linija sa linijama Ox i Oy tačke i, respektivno.
Neka broj odgovara tački na Ox koordinatnoj osi, a broj tački na Oy osi.
Svaka tačka M ravni u datom pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu odgovara jedinstvenom uređenom paru realnih brojeva, tzv. koordinate tačke M na površini. Koordinata se zove apscisa tačke M, A - ordinata tačke M.
Tačan je i suprotan iskaz: svaki uređeni par realnih brojeva odgovara tački M na ravni u datom koordinatnom sistemu.
Koordinate tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru.
Pokažimo kako se koordinate tačke M određuju u pravougaonom koordinatnom sistemu definisanom u trodimenzionalnom prostoru.
Neka su i projekcije tačke M na koordinatne ose Ox, Oy i Oz, redom. Neka ove tačke na koordinatnim osama Ox, Oy i Oz odgovaraju realnim brojevima i.
Pravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose X"X I Y"Y O, koji se zove ishodište, na svakoj osi se bira pozitivan smjer. IN desno koordinatni sistem, pozitivan smjer osi se bira tako da kada je os usmjerena Y"Y gore, os X"X pogledao udesno.
Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih osa X"X I Y"Y, se nazivaju koordinatni uglovi ili kvadranti (vidi sliku 1).
Položaj tačke A na ravni je određena sa dvije koordinate x I y. Koordinate x jednaka dužini segmenta O.B., koordinata y- dužina segmenta O.C. O.B. I O.C. određene su linijama povučenim iz tačke A paralelno sa osama Y"Y I X"X respektivno.
Koordinate x nazvana apscisa tačke A, koordinata y- ordinata tačke A. Zapišite to ovako: .
Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu I, zatim tačka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu II, a zatim tačka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu III, zatim tačka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu IV, a zatim tačka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.
Rice. 2: kartezijanska ravan
Kartezijanske pravougaone koordinate tačke P na površini nazivaju se udaljenosti preuzete određenim predznakom (izraženim u jedinicama skale) ove tačke do dva međusobno okomite linije - koordinatne ose ili, što je isto, projekcije radijus vektora r tačka P na dva međusobno okomite koordinatne ose.
Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formirane od tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY I OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koji se naziva ishodište koordinata, na svakoj osi je odabran pozitivan smjer, označen strelicama, i jedinica mjere za segmente na osi. Jedinice su obično iste za sve ose (što nije obavezno). OX- apscisa osa, OY- ordinatna osa, OZ- osovina aplikatora.
Ako se za pravac uzme palac desne ruke X, pokazujući smjer Y, i prosjek za smjer Z, tada se formira u pravu koordinatni sistem.
Slični prsti lijeve ruke formiraju lijevi koordinatni sistem.
Drugim riječima, pozitivan smjer osi se bira tako da kada osa rotira OX u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90° njegov pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra iz pozitivnog smjera ose OZ. Nemoguće je kombinirati desni i lijevi koordinatni sistem tako da se odgovarajuće ose poklapaju.
Položaj tačke A u prostoru je određena sa tri koordinate x, y I z. Koordinate x jednaka dužini segmenta O.B., koordinata y- dužina segmenta O.C., koordinata z- dužina segmenta O.D. u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti O.B., O.C. I O.D. određuju se ravninama povučenim iz tačke A paralelno sa ravnima YOZ, XOZ I XOY respektivno. Koordinate x nazvana apscisa tačke A, koordinata y- ordinata tačke A, koordinata z- tačka primene A. Zapišite to ovako: .