Pretvaranje grafova.
Verbalni opis funkcije.
Grafička metoda.
Grafička metoda specificiranja funkcije je najvizuelnija i često se koristi u tehnologiji. U matematičkoj analizi se kao ilustracija koristi grafička metoda specificiranja funkcija.
Funkcijski graf f je skup svih tačaka (x;y) koordinatne ravni, gdje je y=f(x), a x "prolazi" kroz cijeli domen definicije ove funkcije.
Podskup koordinatne ravni je graf funkcije ako nema više od jedne zajedničke tačke sa bilo kojom pravom linijom paralelnom sa Oy osom.
Primjer. Da li su brojke prikazane ispod grafikona funkcija?
Prednost grafičkog zadatka je njegova jasnoća. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava, a gdje smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije.
Općenito, analitičke i grafičke metode definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad sa formulom pomaže u izgradnji grafikona. A grafikon često predlaže rješenja koja ne biste ni primijetili u formuli.
Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koje smo upravo pogledali.
Pokušajmo odgovoriti na pitanje: "Postoje li drugi načini za definiranje funkcije?"
Postoji takav način.
Funkcija se može sasvim nedvosmisleno specificirati riječima.
Na primjer, funkcija y=2x može se specificirati sljedećim verbalnim opisom: svaka realna vrijednost argumenta x je pridružena njegovoj dvostrukoj vrijednosti. Pravilo je uspostavljeno, funkcija specificirana.
Štaviše, možete verbalno odrediti funkciju koju je izuzetno teško, ako ne i nemoguće, definirati pomoću formule.
Na primjer: svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbirom cifara koje čine vrijednost x. Na primjer, ako je x=3, onda je y=3. Ako je x=257, onda je y=2+5+7=14. I tako dalje. Problematično je to zapisati u formulu. Ali znak je lako napraviti.
Metoda verbalnog opisa je prilično rijetko korištena metoda. Ali ponekad je tako.
Ako postoji zakon korespondencije jedan prema jedan između x i y, onda postoji funkcija. Koji zakon, u kom obliku je izražen - formula, tabla, grafikon, riječi - ne mijenja suštinu stvari.
Razmotrimo funkcije čiji su domeni definicije simetrični u odnosu na ishodište, tj. za bilo koga X iz domene definicije broja (- X) također pripada domenu definicije. Među ovim funkcijama su paran i neparan.
Definicija. Poziva se funkcija f čak, ako postoji X iz svog domena definicije
Primjer. Razmotrite funkciju 
To je čak. Hajde da to proverimo.
Za bilo koga X jednakosti su zadovoljene
Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon ove funkcije.
Definicija. Poziva se funkcija f odd, ako postoji X iz svog domena definicije 
Primjer. Razmotrite funkciju 
Čudno je. Hajde da to proverimo.
Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična u odnosu na tačku (0;0).
Za bilo koga X jednakosti su zadovoljene
Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon ove funkcije.
Grafovi prikazani na prvoj i trećoj slici su simetrični u odnosu na ordinatnu os, a grafovi prikazani na drugoj i četvrtoj slici su simetrični u odnosu na ishodište.
Koje od funkcija čiji su grafovi prikazani na slikama su parne, a koje neparne?
Grafovi parnih i neparnih funkcija imaju sljedeće karakteristike:
Ako je funkcija parna, tada je njen graf simetričan u odnosu na ordinatu. Ako je funkcija neparna, tada je njen graf simetričan u odnosu na ishodište.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije \(y=\left|x \right|\).Rješenje. Razmotrite funkciju: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) i zamijenite suprotnu \(-x \) umjesto \(x \). Kao rezultat jednostavnih transformacija dobijamo: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ U drugim riječi, ako zamijenite argument suprotnim predznakom, funkcija se neće promijeniti.
To znači da je ova funkcija parna, a njen graf će biti simetričan u odnosu na ordinatnu os (vertikalna os). Grafikon ove funkcije prikazan je na slici lijevo. To znači da prilikom konstruisanja grafika možete nacrtati samo polovinu, a drugi dio (lijevo od vertikalne ose, crtati simetrično na desni dio). Određivanjem simetrije funkcije prije nego što počnete crtati njen graf, možete uvelike pojednostaviti proces konstruiranja ili proučavanja funkcije. Ako je teško izvesti opću provjeru, možete to učiniti jednostavnije: zamijenite iste vrijednosti različitih predznaka u jednadžbu. Na primjer -5 i 5. Ako se ispostavi da su vrijednosti funkcije iste, onda se možemo nadati da će funkcija biti parna. Sa matematičke tačke gledišta, ovaj pristup nije sasvim ispravan, ali je s praktične tačke gledišta prikladan. Da biste povećali pouzdanost rezultata, možete zamijeniti nekoliko parova takvih suprotnih vrijednosti.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije \(y=x\left|x \right|\).
Rješenje. Provjerimo isto kao u prethodnom primjeru: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Ovo znači da je originalna funkcija neparna (znak funkcije je promijenjen u suprotan).
Zaključak: funkcija je simetrična u odnosu na ishodište. Možete izgraditi samo jednu polovinu, a drugu nacrtati simetrično. Ovu vrstu simetrije je teže nacrtati. To znači da grafikon gledate s druge strane lista, pa čak i naopako. Ili možete učiniti ovo: uzmite nacrtani dio i zarotirajte ga oko ishodišta za 180 stepeni suprotno od kazaljke na satu.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije \(y=x^3+x^2\).
Rješenje. Izvršimo istu provjeru promjene predznaka kao u prethodna dva primjera. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Kao rezultat, dobijamo to: $$f\left(-x \desno)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ I ovo znači da funkcija nije ni parna ni neparna.
Zaključak: funkcija nije simetrična ni u odnosu na ishodište ni centar koordinatnog sistema. To se dogodilo jer je to zbir dvije funkcije: parne i neparne. Ista situacija će se dogoditi ako oduzmete dvije različite funkcije. Ali množenje ili dijeljenje će dovesti do drugačijeg rezultata. Na primjer, proizvod parne i neparne funkcije proizvodi neparnu funkciju. Ili količnik dva neparna broja vodi do parne funkcije.
Ravnomjerna funkcija.
Čak je funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni x.
x jednakost važi f(–x) = f(x). Potpiši x ne utiče na znak y.
Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).
Primjeri parne funkcije:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.
Neparna funkcija.
Odd je funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni x.
Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost važi f(–x) = –f(x).
Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).
Primjeri neparnih funkcija:
y= grijeh x
y = x 3
y = –x 3
Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = – x 3 .
Sva značenja at imaće znak minus. To je znak x utiče na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.
Svojstva parnih i neparnih funkcija:
BILJEŠKA:
Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne povinuju takvoj gradaciji. Na primjer, root funkcija at = √X ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni neparan.
Periodične funkcije.
Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Pozivaju se funkcije koje opisuju ove procese periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.
Koje su vam bile poznate u ovom ili onom stepenu. Tamo je također napomenuto da će se zaliha svojstava funkcije postepeno popunjavati. U ovom odjeljku će se raspravljati o dvije nove nekretnine.
Definicija 1.
Funkcija y = f(x), x ê X, zove se čak i ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = f (x).
Definicija 2.
Funkcija y = f(x), x ê X, naziva se neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = -f (x).
Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.
Rješenje. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4. To znači da za bilo koji x vrijedi jednakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je parna.
Slično, može se dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.
Dokaži da je y = x 3 ~ neparna funkcija.
Rješenje. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3. To znači da za bilo koje x vrijedi jednakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je neparna.
Slično, može se dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.
Vi i ja smo se već više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju „zemaljsko“ porijeklo, tj. mogu se nekako objasniti. To je slučaj i sa parnim i neparnim funkcijama. Vidite: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y = x" (u nastavku ćemo posebno proučavati ove funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, onda je funkcija y = x" odd; ako je n paran broj, tada je funkcija y = xn paran.
Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y = 2x + 3. Zaista, f(1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, ni identitet f(-x) = f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).
Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.
Studija o tome da li je data funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanjem parnosti.
Definicije 1 i 2 odnose se na vrijednosti funkcije u tačkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u tački x i u tački -x. To znači da tačka -x pripada domenu definicije funkcije istovremeno sa tačkom x. Ako numerički skup X, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok )