Među numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli potrebno je prije svega istaći one koje karakteriziraju položaj slučajne varijable na brojevnoj osi, tj. označavaju neku prosječnu, približnu vrijednost, oko koje su grupisane sve moguće vrijednosti slučajne varijable.
Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj, koji je takoreći njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u grubim približnim proračunima. Kada kažemo: “prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati” ili “prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno”, time označavamo određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokacija na numeričkoj osi, tj. opis pozicije.
Od karakteristika pozicije u teoriji vjerovatnoće, najvažniju ulogu igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.
Razmotrite diskretnu slučajnu varijablu koja ima moguće vrijednosti s vjerovatnoćom. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu prirodno je koristiti tzv. "ponderisani prosek" vrednosti, a svaku vrednost treba uzeti u obzir prilikom usrednjavanja sa "težinom" proporcionalnom verovatnoći ove vrednosti. Stoga ćemo izračunati srednju vrijednost slučajne varijable koju ćemo označiti sa:
ili, s obzirom na to,
. (5.6.1)
Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Stoga smo u razmatranje uveli jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja.
Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.
Imajte na umu da je u gornjoj formulaciji definicija matematičkog očekivanja važeća, striktno govoreći, samo za diskretne slučajne varijable; U nastavku ćemo generalizirati ovaj koncept na slučaj kontinuiranih veličina.
Kako bismo koncept matematičkog očekivanja učinili ilustrativnijim, okrenimo se mehaničkom tumačenju distribucije diskretne slučajne varijable. Neka se točke s apscisama nalaze na osi apscisa, u kojoj su koncentrisane mase, respektivno, i . Tada, očigledno, matematičko očekivanje definisano formulom (5.6.1) nije ništa drugo do apscisa centra gravitacije datog sistema materijalnih tačaka.
Matematičko očekivanje slučajne varijable povezano je osebujnom ovisnošću s aritmetičkom sredinom promatranih vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između učestalosti i vjerovatnoće, može se zaključiti kao posljedica postojanja sličnog odnosa između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja.
Zaista, razmotrite diskretnu slučajnu varijablu koju karakterizira niz distribucije:
Gdje 
.
Neka se izvode nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih količina poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da se vrijednost pojavila jednom, vrijednost se pojavila jednom, općenito se vrijednost pojavila jednom. Očigledno,
Izračunajmo aritmetičku sredinu posmatranih vrijednosti veličine koju ćemo, za razliku od matematičkog očekivanja, označiti:
Ali ne postoji ništa više od učestalosti (ili statističke vjerovatnoće) događaja; ova frekvencija se može nazvati . Onda
,
one. aritmetička sredina posmatranih vrijednosti slučajne varijable jednaka je zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i frekvencija ovih vrijednosti.
Sa povećanjem broja eksperimenata, frekvencije će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable s povećanjem broja eksperimenata će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) njenom matematičkom očekivanju.
Veza između aritmetičke sredine i gore formulisanog matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva. Daćemo rigorozan dokaz ovog zakona u Poglavlju 13.
Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su određeni prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje je riječ o stabilnosti aritmetičke sredine iz niza opservacija iste vrijednosti. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo ne slučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.
Svojstvo stabilnosti prosjeka za veliki broj eksperimenata je lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, vaganje bilo kojeg tijela u laboratoriju na tačnim vagama, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; da bismo smanjili grešku opažanja, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobijenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na ovo povećanje, a sa dovoljno velikim brojem eksperimenata praktički prestaje da se menja.
Formula (5.6.1) za matematičko očekivanje odgovara slučaju diskretne slučajne varijable. Za kontinuiranu vrijednost, matematičko očekivanje se, naravno, više ne izražava kao zbir, već kao integral:
, (5.6.2)
gdje je gustina raspodjele količine .
Formula (5.6.2) se dobija iz formule (5.6.1), ako pojedinačne vrednosti u njoj zamenimo parametrom x koji se neprekidno menja, odgovarajuće verovatnoće - elementom verovatnoće, a konačni zbir - integralom. U nastavku ćemo često koristiti ovu metodu proširenja formula izvedenih za diskontinuirane veličine na slučaj kontinuiranih veličina.
U mehaničkom tumačenju, matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable zadržava isto značenje - apscisu težišta u slučaju kada je masa raspoređena duž ose apscise kontinuirano, sa gustinom . Ovo tumačenje često omogućava pronalaženje matematičkog očekivanja bez izračunavanja integrala (5.6.2), iz jednostavnih mehaničkih razmatranja.
Iznad smo uveli notaciju za matematičko očekivanje veličine . U nekim slučajevima, kada je vrijednost uključena u formule kao određeni broj, pogodnije je označiti je jednim slovom. U ovim slučajevima, matematičko očekivanje vrijednosti ćemo označiti kroz:
Zapis i za matematičko očekivanje će se u budućnosti koristiti paralelno, u zavisnosti od pogodnosti jedne ili druge notacije formula. Složimo se, ako je potrebno, da riječi "matematičko očekivanje" skratimo slovima m.o.
Treba napomenuti da najvažnija karakteristika pozicije - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju.
Razmotrimo, na primjer, diskontinuiranu slučajnu varijablu s nizom distribucije:
Lako je provjeriti da, tj. serija distribucije ima smisla; međutim, zbir se u ovom slučaju razlikuje i, prema tome, matematičko očekivanje vrijednosti ne postoji. Međutim, za praksu takvi slučajevi nisu od većeg interesa. Obično slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju očekivanje.
Iznad smo dali formule (5.6.1) i (5.6.2) koje izražavaju matematičko očekivanje za diskontinuiranu i kontinuiranu slučajnu varijablu , respektivno.
Ako vrijednost pripada vrijednostima mješovitog tipa, tada se njeno matematičko očekivanje izražava formulom oblika:
, (5.6.3)
gdje se zbroj proteže na sve točke u kojima se funkcija distribucije prekida, a integral se proteže na sve dijelove na kojima je funkcija distribucije kontinuirana.
Pored najvažnijih karakteristika položaja - matematičkog očekivanja - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebno mod i medijan slučajne varijable.
Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Termin "najvjerovatnija vrijednost", striktno govoreći, primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slažemo se da način označimo slovom. Na sl. 5.6.1 i 5.6.2 prikazuju mod za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.
Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva "polimodalna" (slike 5.6.3 i 5.6.4).
Ponekad postoje distribucije koje u sredini imaju ne maksimum, već minimum (sl. 5.6.5 i 5.6.6). Takve distribucije se nazivaju "antimodalne". Primjer antimodalne distribucije je distribucija dobivena u primjeru 5, br. 5.1.
U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ona poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.
Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se formalno može definirati i za diskontinuiranu varijablu.
Medijan slučajne varijable je njena vrijednost za koju
one. jednako je vjerovatno da će slučajna varijabla biti manja ili veća od . Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom raspodjele podijeljeno na pola (slika 5.6.7).
Moda- vrijednost u skupu zapažanja koja se najčešće javlja
Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),
ovdje je X Mo lijeva granica modalnog intervala, h Mo je dužina modalnog intervala, f Mo-1 je frekvencija premodalnog intervala, f Mo je frekvencija modalnog intervala, f Mo+1 je učestalost postmodalnog intervala.
Način apsolutno kontinuirane distribucije je svaka tačka lokalnog maksimuma gustine raspodjele. Za diskretne distribucije, mod je svaka vrijednost a i čija je vjerovatnoća p i veća od vjerovatnoće susjednih vrijednosti
Medijan kontinuirana slučajna varijabla X njegova vrijednost Me naziva se takva, za koju je jednako vjerojatno da li će slučajna varijabla biti manja ili veća Ja, tj.
M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Ja) = P(X > Ja)
Ravnomjerno raspoređeno NOVO
Ravnomjerna distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla naziva se ravnomjerno raspoređena na segmentu () ako je njena funkcija gustine distribucije (slika 1.6, A) izgleda kao:
Oznaka: - SW je ravnomjerno raspoređen na .
Shodno tome, funkcija distribucije na segmentu (slika 1.6, b):
Rice. 1.6. Funkcije slučajne varijable ravnomjerno raspoređene na [ a,b]: A– gustoće vjerovatnoće f(x); b– distribucije F(x)
Matematičko očekivanje i varijansa ovog RV-a određeni su izrazima:
Zbog simetrije funkcije gustoće, ona se poklapa sa medijanom. Moda nema uniformnu distribuciju
Primjer 4 Vrijeme čekanja za odgovor na telefonski poziv je slučajna varijabla koja poštuje uniformni zakon raspodjele u rasponu od 0 do 2 minute. Pronađite integralne i diferencijalne funkcije raspodjele ove slučajne varijable.
27. Normalni zakon distribucije vjerovatnoće
Kontinuirana slučajna varijabla x ima normalnu distribuciju sa parametrima: m,s > 0, ako gustina distribucije vjerovatnoće ima oblik:
gdje je: m matematičko očekivanje, s je standardna devijacija.
Normalna raspodjela se također naziva Gaussovom po njemačkom matematičaru Gausu. Činjenica da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju sa parametrima: m, , označava se na sljedeći način: N (m, s), gdje je: m=a=M[X];
Često se u formulama matematičko očekivanje označava sa A . Ako je slučajna varijabla distribuirana prema zakonu N(0,1), onda se naziva normalizirana ili standardizirana normalna vrijednost. Funkcija distribucije za to ima oblik:
Grafikon gustine normalne distribucije, koji se naziva normalna kriva ili Gausova kriva, prikazan je na slici 5.4.
Rice. 5.4. Normalna gustina distribucije
svojstva slučajna varijabla sa normalnim zakonom raspodjele.
1. Ako je , tada pronaći vjerovatnoću da ova vrijednost padne u dati interval ( x 1; x 2) koristi se formula:
2. Vjerovatnoća da odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja neće premašiti vrijednost (u apsolutnoj vrijednosti) jednaka je:
3. "Pravilo tri sigma". Ako je slučajna varijabla, onda je praktički sigurno da su njene vrijednosti sadržane u intervalu (). (Vjerovatnoća prelaska ovih granica je 0,0027.) Pravilo omogućava, znajući parametre ( i ), da se približno odredi interval praktičnih vrijednosti slučajne varijable.
eksponencijalna distribucija
Slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju sa parametrom ako njena gustina ima oblik
Integracijom gustine dobijamo funkciju eksponencijalne distribucije:
glavne karakteristike eksponencijalne distribucije:
Grafikoni gustoće i funkcije rezultirajuće eksponencijalne raspodjele
Očekivana vrijednost. matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla X, koji uzima konačan broj vrijednosti Xi sa vjerovatnoćama Ri, naziva se zbir:
matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla X naziva se integral proizvoda njegovih vrijednosti X na gustinu raspodjele vjerovatnoće f(x):
(6b)
Nepravilan integral (6 b) pretpostavlja se da je apsolutno konvergentno (inače kažemo da je očekivanje M(X) ne postoji). Matematičko očekivanje karakteriše prosječna vrijednost slučajna varijabla X. Njegova dimenzija se poklapa sa dimenzijom slučajne varijable.
Svojstva matematičkog očekivanja:
Disperzija. disperzija slučajna varijabla X broj se zove:
Disperzija je karakteristika raspršivanja vrijednosti slučajne varijable X u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost M(X). Dimenzija varijanse jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable. Na osnovu definicija varijanse (8) i matematičkog očekivanja (5) za diskretnu slučajnu varijablu i (6) za kontinuiranu slučajnu varijablu, dobijamo slične izraze za varijansu:
(9)
Evo m = M(X).
Svojstva disperzije:
Standardna devijacija:
(11)
Budući da je dimenzija standardne devijacije ista kao i kod slučajne varijable, ona se češće od varijanse koristi kao mjera disperzije.
momenti distribucije. Koncepti matematičkog očekivanja i varijanse su posebni slučajevi općenitijeg koncepta za numeričke karakteristike slučajnih varijabli - momenti distribucije. Momenti distribucije slučajne varijable su predstavljeni kao matematička očekivanja nekih jednostavnih funkcija slučajne varijable. Dakle, trenutak reda k u odnosu na tačku X 0 se naziva očekivanje M(X–X 0 )k. Trenuci u odnosu na porijeklo X= 0 se pozivaju početnih trenutaka i označeni su:
(12)
Početni trenutak prvog reda je distribucijski centar razmatrane slučajne varijable:
(13)
Trenuci u odnosu na distributivni centar X= m pozvao centralni momenti i označeni su:
(14)
Iz (7) slijedi da je centralni moment prvog reda uvijek jednak nuli:
Centralni momenti ne ovise o porijeklu vrijednosti slučajne varijable, jer s pomakom za konstantnu vrijednost WITH njegov centar distribucije je pomjeren za istu vrijednost WITH, a odstupanje od centra se ne mijenja: X – m = (X – WITH) – (m – WITH).
Sada je to očigledno disperzija- Ovo centralni moment drugog reda:
Asimetrija. Centralni momenat trećeg reda:
(17)
služi za procenu iskrivljenost distribucije. Ako je raspodjela simetrična u odnosu na tačku X= m, tada će centralni moment trećeg reda biti jednak nuli (kao i svi centralni momenti neparnih redova). Stoga, ako je centralni moment trećeg reda različit od nule, tada raspodjela ne može biti simetrična. Veličina asimetrije se procjenjuje pomoću bezdimenzionalnog koeficijent asimetrije:
(18)
Znak koeficijenta asimetrije (18) ukazuje na desnu ili lijevu asimetriju (slika 2).
Rice. 2. Vrste asimetrije distribucija.
Višak. Centralni momenat četvrtog reda:
(19)
služi za evaluaciju tzv kurtosis, koji određuje stepen strmine (zašiljenosti) krivulje distribucije u blizini centra distribucije u odnosu na krivu normalne distribucije. Budući da je za normalnu distribuciju, količina uzeta kao eksces je:
(20)
Na sl. 3 prikazuje primjere krivulja distribucije s različitim vrijednostima ekscesa. Za normalnu distribuciju E= 0. Krive koje imaju više vrhova od normalnih imaju pozitivnu ekscesiju, a krive sa više ravnih vrhova imaju negativnu ekscesiju.
Rice. 3. Krive distribucije sa različitim stepenima strmine (kurtosis).
Momenti višeg reda u inženjerskim aplikacijama matematičke statistike se obično ne koriste.
Moda
diskretno slučajna varijabla je njena najvjerovatnija vrijednost. Moda kontinuirano slučajna varijabla je njena vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna (slika 2). Ako kriva distribucije ima jedan maksimum, onda se distribucija zove unimodalni. Ako kriva distribucije ima više od jednog maksimuma, tada se distribucija poziva polimodalni. Ponekad postoje distribucije čije krive nemaju maksimum, već minimum. Takve distribucije se nazivaju antimodal. U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, za modalni, tj. ima mod, simetričnu distribuciju, i pod uslovom da postoji matematičko očekivanje, potonje se poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.
Medijan slučajna varijabla X je njegovo značenje Ja, za koje vrijedi jednakost: tj. jednako je vjerovatno da je slučajna varijabla X biće manje ili više Ja. Geometrijski medijana je apscisa tačke u kojoj je površina ispod krivulje raspodjele podijeljena na pola (slika 2). U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan, mod i srednja vrijednost su isti.