Bočna ivica formule ravne prizme. Definicija i svojstva prizme

Predavanje: Prizma, njene osnove, bočna rebra, visina, bočna površina; ravna prizma; ispravna prizma

Prizma

Ako ste kod nas naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo čvrsto tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.

Prizma je trodimenzionalno tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona u osnovama, koji se nalaze u paralelnim ravnima, a sve bočne strane imaju oblik paralelograma.

Dakle, hajde da shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pažnju na sl. 1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su petouglovi ABCEF i GMNJK. Štaviše, ovi poligoni su međusobno jednaki.

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočnim stranama - sastoje se od paralelograma. Na primjer BMNC, AGKF, FKJE, itd.

Ukupna površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.

Svaki par susednih lica ima zajedničku stranu. Ova zajednička strana se zove ivica. Na primjer MV, SE, AB, itd.

Ako su gornja i donja osnova prizme spojene okomicom, onda će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena kao prava linija OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočne ivice prizme nisu okomite na osnovice, tada se takva prizma naziva skloni.

Ako su svi rubovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva ravno.

Ako osnove prizme sadrže pravilne poligone (one sa jednakim stranicama), tada se takva prizma naziva ispravan.

Ako osnove prizme nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takva prizma zvati skraćeno.

To možete vidjeti na slici 2

Formule za pronalaženje zapremine i površine prizme

Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po primjeni:

Slične formule za pronalaženje površine prizme:

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Tijelo predstavlja dio prostora ograničen određenom površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksan ako se nalazi na jednoj strani ravni svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravni i površine poliedra naziva se rub. Lica konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica se nazivaju ivice poliedra, a vrhovi su vrhovima poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata, koji su njena lica. Sadrži 12 rubova (strane kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravnima kombinovanih paralelnom translacijom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočne ivice prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj površini naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljik, ako njegova baza sadrži n-ugao.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, koja proizlaze iz činjenice da su baze prizme kombinovane paralelnim prevođenjem:

1. Osnove prizme su jednake.

2. Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.

Površina prizme se sastoji od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (ovo slijedi iz svojstava prizme). Površina bočne površine prizme je zbir površina bočnih strana.

Prava prizma

Prizma se zove ravno, ako su njegove bočne ivice okomite na baze. Inače se naziva prizma skloni.

Površine prave prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbirom površine bočne površine i površina baza.

Sa pravom prizmom naziva se desna prizma s pravilnim mnogouglom u osnovi.

Teorema 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku perimetra i visine prizme (ili, što je isto, bočnom ivicom).

Dokaz. Bočne strane prave prizme su pravokutnici, čije su osnove stranice mnogouglova u osnovima prizme, a visine su bočne ivice prizme. Tada je, po definiciji, površina bočne površine:

,

gdje je obim osnove ravne prizme.

Paralelepiped

Ako paralelogrami leže u osnovima prizme, onda se naziva paralelepiped. Sva lica paralelepipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

Teorema 13.2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele se na pola presječnom točkom.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelepipeda su paralelogrami, a zatim i , što znači da prema To postoje dvije prave linije paralelne s trećim. Osim toga, to znači da prave linije i leže u istoj ravni (ravnini). Ova ravan siječe paralelne ravnine i duž paralelnih linija i . Dakle, četverougao je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale sijeku i dijele na pola presječnom točkom, što je i trebalo dokazati.

Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik pravougaoni paralelepiped. Sva lica pravokutnog paralelepipeda su pravokutnici. Dužine neparalelnih ivica pravougaonog paralelepipeda nazivaju se njegovim linearnim dimenzijama (dimenzijama). Postoje tri takve veličine (širina, visina, dužina).

Teorema 13.3. U pravokutnom paralelepipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano primjenom Pitagorinog T dvaput).

Zove se pravougaoni paralelepiped čiji su svi rubovi jednaki kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima? n-karbonska prizma

13.2 U nagnutoj trouglastoj prizmi, razmaci između bočnih ivica su 37, 13 i 40. Pronađite rastojanje između veće bočne ivice i suprotne bočne ivice.

13.3 Kroz stranu donje osnove pravilne trouglaste prizme povučena je ravan, koja siječe bočne strane duž segmenata sa uglom između njih. Pronađite ugao nagiba ove ravni prema osnovici prizme.

Opće informacije o pravoj prizmi

Bočna površina prizme (tačnije, bočna površina) naziva se suma područja bočnih strana. Ukupna površina prizme jednaka je zbiru bočne površine i površina baza.

Teorema 19.1. Bočna površina ravne prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme, odnosno dužini bočne ivice.

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici. Osnove ovih pravougaonika su stranice mnogougla koji leže u osnovi prizme, a visine su jednake dužini bočnih ivica. Iz toga slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n dužine ivica osnove, p je obim osnove prizme, a I je dužina bočnih ivica. Teorema je dokazana.

Praktični zadatak

Problem (22) . Izvodi se u kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočna rebra i siječe sva bočna rebra. Pronađite bočnu površinu prizme ako je perimetar poprečnog presjeka jednak p, a bočne ivice jednake l.

Rješenje. Ravan nacrtanog preseka deli prizmu na dva dela (sl. 411). Podvrgnimo jednu od njih paralelnom prevođenju, kombinujući osnove prizme. U ovom slučaju dobijamo ravnu prizmu čija je osnova poprečni presjek originalne prizme, a bočne ivice jednake su l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina originalne prizme jednaka je pl.

Sažetak obrađene teme

Pokušajmo sada sumirati temu koju smo obradili o prizmama i prisjetimo se koja svojstva prizma ima.

Svojstva prizme

Prvo, prizma ima sve svoje baze kao jednake poligone;
Drugo, u prizmi su sve njene bočne strane paralelogrami;
Treće, u takvoj višestrukoj figuri kao što je prizma, sve bočne ivice su jednake;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni ili nagnuti.

Koja prizma se naziva ravna prizma?

Ako se bočna ivica prizme nalazi okomito na ravninu njene osnove, tada se takva prizma naziva ravna.

Ne bi bilo suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Koja vrsta prizme se naziva kosom?

Ali ako se bočna ivica prizme ne nalazi okomito na ravninu njene baze, onda možemo sa sigurnošću reći da je to nagnuta prizma.

Koja prizma se naziva ispravnom?

Ako pravilan poligon leži u osnovi ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Sada se prisjetimo svojstava koja ima obična prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao osnove pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako uporedite veličine bočnih rebara, onda su u redovnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, ispravna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako u pravilnoj prizmi bočne strane imaju oblik kvadrata, tada se takva figura obično naziva polupravilnim poligonom.

Presjek prizme

Sada pogledajmo poprečni presjek prizme:

Zadaća

Pokušajmo sada da konsolidujemo temu koju smo naučili rješavanjem problema.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu, razmak između njenih rubova će biti jednak: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina ove prizme će biti jednaka 60 cm2. Imajući ove parametre, pronađite bočnu ivicu ove prizme.

Znate li da nas geometrijske figure stalno okružuju, ne samo na časovima geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji podsjećaju na jednu ili drugu geometrijsku figuru.

Svaki dom, škola ili posao ima računar čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete u ruke jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući centralnom gradskom ulicom, vidimo da ispod naših nogu leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Definicija. Prizma je poliedar, čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravni, a u te iste dvije ravni leže dvije strane prizme, koje su jednaki mnogouglovi s odgovarajućim paralelnim stranicama, a sve ivice koje ne leže u tim ravnima su paralelne.

Zovu se dva jednaka lica baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme se nazivaju bočne strane(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Formiraju se sve bočne strane bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Rubovi koji ne leže u osnovama nazivaju se bočnim rubovima prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme je segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na istoj površini (AD 1).

Dužina segmenta koji povezuje osnove prizme i okomito na obje baze istovremeno se naziva visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu pomicanja, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svake bočne ivice označeni su istim slovima, samo su vrhovi koji leže u jednoj bazi označeni slovima bez indeksa, a u drugom - sa indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem uglova na slici koja leži u njenoj osnovi, na primjer, na slici 1 u osnovi je petougao, pa se prizma naziva pentagonalna prizma. Ali zato takva prizma ima 7 lica, onda je heptahedron(2 lica - osnove prizme, 5 lica - paralelogrami, - njene bočne strane)

Među ravnim prizmama izdvaja se posebna vrsta: pravilne prizme.

Prava prizma se zove ispravno, ako su njegove osnove pravilni poligoni.

Pravilna prizma ima sve bočne površine jednake pravokutnike. Poseban slučaj prizme je paralelepiped.

Paralelepiped

Paralelepiped je četverokutna prizma, u čijoj osnovi leži paralelogram (kosi paralelepiped). Desni paralelepiped- paralelepiped čije su bočne ivice okomite na ravni baze.

Pravougaoni paralelepiped- pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik.

Svojstva i teoreme:

Neka svojstva paralelepipeda su slična poznatim osobinama paralelograma.Pravougaoni paralelepiped jednakih dimenzija naziva se kocka .Kocka ima sve jednake kvadrate.Kvadrat dijagonale jednak je zbiru kvadrata njene tri dimenzije

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.

Ideju o prizmi daje:

• razne arhitektonske strukture;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Površina ukupne i bočne površine prizme

Ukupna površina prizme je zbir površina svih njegovih lica Bočna površina naziva se zbir površina njegovih bočnih strana. Osnove prizme su jednaki poligoni, tada su im površine jednake. Zbog toga

S puni = S strana + 2S glavni,

Gdje S puna- ukupna površina, S strana-bočna površina, S baza- bazna površina

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

S strana= P osnovno * h,

Gdje S strana-površina bočne površine ravne prizme,

P glavni - perimetar osnove ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnoj ivici.

Volumen prizme

Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine.