При решаването на задача C2 с помощта на координатния метод много ученици се сблъскват със същия проблем. Те не могат да пресметнат координати на точкивключени във формулата за скаларно произведение. Най-големите трудности са пирамиди. И ако базовите точки се считат за повече или по-малко нормални, тогава върховете са истински ад.

Днес ще се занимаваме с правилна четириъгълна пирамида. Има и триъгълна пирамида (известна още като тетраедър). Това е по-сложен дизайн, така че ще му бъде посветен отделен урок.

Да започнем с определението:

Правилна пирамида е тази, в която:

1. Основата е правилен многоъгълник: триъгълник, квадрат и др.;
2. Височината, начертана към основата, минава през нейния център.

По-специално, основата на четириъгълна пирамида е квадрат. Точно като Хеопс, само че малко по-малък.

По-долу са изчисленията за пирамида с всички ръбове, равни на 1. Ако случаят във вашия проблем не е такъв, изчисленията не се променят - просто числата ще бъдат различни.

Върхове на четириъгълна пирамида

И така, нека е дадена правилна четириъгълна пирамида SABCD, където S е върха, основата на ABCD е квадрат. Всички ребра са равни на 1. Необходимо е да се въведе координатна система и да се намерят координатите на всички точки. Ние имаме:

Въвеждаме координатна система с начало в точка А:

1. Оста OX е насочена успоредно на ръба AB ;
2. Оста OY - успоредна на AD . Тъй като ABCD е квадрат, AB ⊥ AD ;
3. Накрая, оста OZ е насочена нагоре, перпендикулярна на равнината ABCD.

Сега разглеждаме координатите. Допълнителна конструкция: SH - височина изтеглена към основата. За удобство ще извадим основата на пирамидата в отделна фигура. Тъй като точките A , B , C и D лежат в равнината OXY, тяхната координата е z = 0. Имаме:

1. A = (0; 0; 0) - съвпада с началото;
2. B = (1; 0; 0) - стъпка по 1 по оста OX от началото;
3. C = (1; 1; 0) - стъпка с 1 по оста OX и с 1 по оста OY;
4. D = (0; 1; 0) - стъпка само по оста OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - центърът на квадрата, средата на сегмента AC.

Остава да намерим координатите на точка S. Обърнете внимание, че координатите x и y на точките S и H са еднакви, защото лежат на права линия, успоредна на оста OZ. Остава да намерим координатата z за точка S .

Помислете за триъгълници ASH и ABH:

1. AS = AB = 1 по условие;
2. Ъгъл AHS = AHB = 90°, тъй като SH е височината и AH ⊥ HB като диагонали на квадрат;
3. Страна АХ - общ.

Следователно правоъгълни триъгълници ASH и ABH равенедин катет и една хипотенуза. Така че SH = BH = 0,5 BD. Но BD е диагоналът на квадрат със страна 1. Следователно имаме:

Общи координати на точка S:

В заключение, записваме координатите на всички върхове на правилна правоъгълна пирамида:

Какво да правите, когато ребрата са различни

Но какво ще стане, ако страничните ръбове на пирамидата не са равни на ръбовете на основата? В този случай разгледайте триъгълника AHS:

Триъгълник AHS- правоъгълен, а хипотенузата AS също е страничен ръб на оригиналната пирамида SABCD . Кракът AH се разглежда лесно: AH = 0,5 AC. Намерете оставащия крак SH според Питагоровата теорема. Това ще бъде z координатата за точка S.

Задача. Дадена е правилна четириъгълна пирамида SABCD , в основата на която лежи квадрат със страна 1. Страничен ръб BS = 3. Намерете координатите на точката S .

Вече знаем координатите x и y на тази точка: x = y = 0,5. Това следва от два факта:

1. Проекцията на точка S върху равнината OXY е точката H;
2. В същото време точката H е центърът на квадрата ABCD, всички страни на който са равни на 1.

Остава да се намери координатата на точка S. Да разгледаме триъгълника AHS. Той е правоъгълен, като хипотенузата AS = BS = 3, катетът AH е половината от диагонала. За по-нататъшни изчисления се нуждаем от неговата дължина:

Питагорова теорема за триъгълник AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Ние имаме:

И така, координатите на точката S:

Първо ниво

Пирамида. Визуално ръководство (2019)

Какво е пирамида?

Как изглежда тя?

Виждате ли: при пирамидата отдолу (казват " в основата"") някакъв многоъгълник и всички върхове на този многоъгълник са свързани с някаква точка в пространството (тази точка се нарича " връх»).

Цялата тази структура има странични лица, странични ребраи базови ребра. Още веднъж, нека начертаем пирамида заедно с всички тези имена:

Някои пирамиди може да изглеждат много странни, но все пак са пирамиди.

Ето, например, доста "наклонено" пирамида.

И още малко за имената: ако в основата на пирамидата има триъгълник, тогава пирамидата се нарича триъгълна;

В същото време точката, в която падна височина, е наречен височина основа. Имайте предвид, че в "кривите" пирамиди височинаможе дори да е извън пирамидата. Като този:

И в това няма нищо ужасно. Прилича на тъп триъгълник.

Правилна пирамида.

Много трудни думи? Нека дешифрираме: " В основата - правилно"- това е разбираемо. А сега не забравяйте, че правилният многоъгълник има център - точка, която е центърът на и , и .

Е, и думите „върхът е проектиран в центъра на основата“ означават, че основата на височината попада точно в центъра на основата. Вижте колко гладко и сладко изглежда дясна пирамида.

Шестоъгълна: в основата - правилен шестоъгълник, върхът е проектиран в центъра на основата.

четириъгълна: в основата - квадрат, върхът се проектира в пресечната точка на диагоналите на този квадрат.

триъгълна: в основата е правилен триъгълник, върхът се проектира в пресечната точка на височините (те също са медиани и ъглополовящи) на този триъгълник.

Силно важни свойства на правилната пирамида:

В дясната пирамида

• всички странични ръбове са равни.
• всички странични лица са равнобедрени триъгълници и всички тези триъгълници са равни.

Обем на пирамидата

Основната формула за обема на пирамидата:

Откъде точно дойде? Това не е толкова просто и в началото просто трябва да запомните, че пирамидата и конусът имат обем във формулата, но цилиндърът не.

Сега нека изчислим обема на най-популярните пирамиди.

Нека страната на основата е равна, а страничният ръб равен. Трябва да намеря и.

Това е площта на правоъгълен триъгълник.

Нека си припомним как да търсим тази област. Използваме формулата за площ:

Имаме "" - това и "" - също това, а.

Сега да намерим.

Според Питагоровата теорема за

Какво значение има? Това е радиусът на описаната окръжност в, защото пирамидаправилноа оттам и центъра.

Тъй като - точката на пресичане и медианата също.

(Питагоровата теорема за)

Заместител във формулата за.

Нека включим всичко във формулата за обем:

Внимание:ако имате правилен тетраедър (т.е.), тогава формулата е:

Нека страната на основата е равна, а страничният ръб равен.

Няма нужда да търсите тук; тъй като в основата е квадрат, и следователно.

Да намерим. Според Питагоровата теорема за

знаем ли почти. Виж:

(видяхме това чрез преглед).

Заместете във формулата:

И сега заместваме и във формулата за обем.

Нека страната на основата да е равна, а страничният ръб.

Как да намеря? Вижте, шестоъгълникът се състои от точно шест еднакви правилни триъгълника. Вече търсихме площта на правилен триъгълник при изчисляване на обема на правилна триъгълна пирамида, тук използваме намерената формула.

Сега нека намерим (това).

Според Питагоровата теорема за

Но какво значение има? Това е просто, защото (и всички останали също) е правилно.

Заменяме:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПИРАМИДА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Пирамидата е многостен, който се състои от всеки плосък многоъгълник (), точка, която не лежи в равнината на основата (върхът на пирамидата) и всички сегменти, свързващи върха на пирамидата с основните точки (странични ръбове).

Перпендикуляр, пуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.

Правилна пирамида- пирамида, която има правилен многоъгълник в основата, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

Свойство на правилна пирамида:

• В правилната пирамида всички странични ръбове са равни.
• Всички странични лица са равнобедрени триъгълници и всички тези триъгълници са равни.

Концепция за пирамида

Определение 1

Геометрична фигура, образувана от многоъгълник и точка, която не лежи в равнината, съдържаща този многоъгълник, свързана с всички върхове на многоъгълника, се нарича пирамида (фиг. 1).

Многоъгълникът, от който е съставена пирамидата, се нарича основа на пирамидата, триъгълниците, получени чрез свързване с точката, са страничните стени на пирамидата, страните на триъгълниците са страните на пирамидата, а точката е обща за всички триъгълници е върхът на пирамидата.

Видове пирамиди

В зависимост от броя на ъглите в основата на пирамидата тя може да бъде наречена триъгълна, четириъгълна и т.н. (фиг. 2).

Фигура 2.

Друг вид пирамида е правилната пирамида.

Нека въведем и докажем свойството на правилната пирамида.

Теорема 1

Всички странични лица на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, които са равни помежду си.

Доказателство.

Да разгледаме правилна $n-$ъгълна пирамида с връх $S$ с височина $h=SO$. Нека опишем кръг около основата (фиг. 4).

Фигура 4

Да разгледаме триъгълника $SOA$. По Питагоровата теорема получаваме

Очевидно всеки страничен ръб ще бъде дефиниран по този начин. Следователно всички странични ръбове са равни един на друг, тоест всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Нека докажем, че те са равни помежду си. Тъй като основата е правилен многоъгълник, основите на всички странични лица са равни една на друга. Следователно всички странични лица са равни според III знак за равенство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Сега въвеждаме следното определение, свързано с концепцията за правилна пирамида.

Определение 3

Апотемата на правилната пирамида е височината на страничната й страна.

Очевидно според теорема 1 всички апотеми са равни.

Теорема 2

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се определя като произведението на полупериметъра на основата и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страната на основата на $n-$въглищната пирамида с $a$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като според теорема 1 всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Друг вид пирамида е пресечената пирамида.

Определение 4

Ако през обикновена пирамида се прекара равнина, успоредна на нейната основа, то фигурата, образувана между тази равнина и равнината на основата, се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).

Фигура 5. Пресечена пирамида

Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни.

Теорема 3

Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида се определя като произведението на сумата от полупериметрите на основите и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страните на основите на $n-$въглищната пирамида съответно с $a\ и\ b$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете площта на страничната повърхност на пресечена триъгълна пирамида, ако тя е получена от правилна пирамида с основна страна 4 и апотема 5 чрез отрязване от равнина, минаваща през средната линия на страничните лица.

Решение.

Съгласно теоремата за средната линия получаваме, че горната основа на пресечената пирамида е равна на $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е равна на $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Тогава по теорема 3 получаваме

Хипотеза:ние вярваме, че съвършенството на формата на пирамидата се дължи на математическите закони, заложени в нейната форма.

Цел:като изучава пирамидата като геометрично тяло, за да обясни съвършенството на нейната форма.

Задачи:

1. Дайте математическа дефиниция на пирамида.

2. Изучаване на пирамидата като геометрично тяло.

3. Разберете какво математическо знание са заложили египтяните в своите пирамиди.

Лични въпроси:

1. Какво представлява пирамидата като геометрично тяло?

2. Как може да се обясни математически уникалната форма на пирамидата?

3. Какво обяснява геометричните чудеса на пирамидата?

4. Какво обяснява съвършенството на формата на пирамидата?

Определение за пирамида.

ПИРАМИДА (от гръцки pyramis, род n. pyramidos) - многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх (фигура). Според броя на ъглите на основата пирамидите биват триъгълни, четириъгълни и др.

ПИРАМИДА - монументална структура, която има геометрична форма на пирамида (понякога също стъпаловидна или кулообразна). Гигантските гробници на древните египетски фараони от 3-то-2-ро хилядолетие пр. н. е. се наричат ​​пирамиди. д., както и древни американски пиедестали на храмове (в Мексико, Гватемала, Хондурас, Перу), свързани с космологични култове.

Възможно е гръцката дума "пирамида" да произлиза от египетския израз per-em-us, тоест от термин, който означава височината на пирамидата. Изтъкнатият руски египтолог В. Струве смята, че гръцкото “пурам…й” произлиза от древноегипетското “п”-мр”.

От историята. След изучаване на материала в учебника "Геометрия" на авторите на Атанасян. Бутузова и други, научихме, че: Многостен, съставен от n-ъгълник A1A2A3 ... An и n триъгълника RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1, се нарича пирамида. Многоъгълникът A1A2A3 ... An е основата на пирамидата, а триъгълниците RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 са страничните стени на пирамидата, P е върхът на пирамидата, отсечките RA1, RA2, .. ., RAn са страничните ръбове.

Такава дефиниция на пирамидата обаче не винаги е съществувала. Например древногръцкият математик, автор на теоретични трактати по математика, достигнали до нас, Евклид, определя пирамидата като твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Но това определение е било критикувано още в древността. Така Херон предложи следното определение за пирамида: „Това е фигура, ограничена от триъгълници, събиращи се в една точка и чиято основа е многоъгълник.“

Нашата група, сравнявайки тези определения, стигна до извода, че те нямат ясна формулировка на понятието „фондация“.

Проучихме тези дефиниции и открихме дефиницията на Адриен Мари Лежандр, който през 1794 г. в своята работа „Елементи на геометрията“ дефинира пирамидата по следния начин: „Пирамидата е телесна фигура, образувана от триъгълници, събиращи се в една точка и завършващи от различни страни на плоска основа."

Струва ни се, че последното определение дава ясна представа за пирамидата, тъй като се отнася до факта, че основата е плоска. Друго определение за пирамида се появява в учебник от 19 век: „пирамидата е телесен ъгъл, пресечен от равнина“.

Пирамидата като геометрично тяло.

Че. Пирамидата е многостен, едно от чиито лица (основа) е многоъгълник, останалите лица (страни) са триъгълници, които имат един общ връх (върхът на пирамидата).

Перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височиначпирамиди.

Освен произволна пирамида има дясна пирамида,в основата на който е правилен многоъгълник и пресечена пирамида.

На фигурата - пирамидата PABCD, ABCD - нейната основа, PO - височина.

Пълна площ Пирамида се нарича сумата от площите на всички нейни лица.

Пълна = Sстрана + Sоснова,където Ssideе сумата от площите на страничните лица.

обем на пирамидата се намира по формулата:

V=1/3Sоснова ч, където Sosn. - основна площ ч- височина.

Оста на правилната пирамида е права линия, съдържаща нейната височина.
Апотема ST - височината на страничното лице на правилна пирамида.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се изразява, както следва: Sside. =1/2P ч, където P е периметърът на основата, ч- височината на страничната повърхност (апотемата на правилната пирамида). Ако пирамидата се пресича от равнина A'B'C'D', успоредна на основата, тогава:

1) страничните ръбове и височината са разделени от тази равнина на пропорционални части;

2) в сечението се получава многоъгълник A'B'C'D', подобен на основата;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Основите на пресечената пирамидаса подобни многоъгълници ABCD и A`B`C`D`, страничните лица са трапеци.

Височинапресечена пирамида - разстоянието между основите.

Съкратен обемпирамида се намира по формулата:

V=1/3 ч(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се изразява, както следва: Sстрана = ½(P+P') ч, където P и P’ са периметрите на основите, ч- височината на страничното лице (апотемата на редовен, пресечен от празници

Раздели на пирамидата.

Сеченията на пирамидата с равнини, минаващи през върха й, са триъгълници.

Сечението, минаващо през два несъседни странични ръба на пирамидата, се нарича диагонално сечение.

Ако сечението минава през точка от страничния ръб и страната на основата, тогава тази страна ще бъде неговата следа върху равнината на основата на пирамидата.

Разрез, минаващ през точка, разположена на лицето на пирамидата, и дадена следа от сечението върху равнината на основата, тогава конструкцията трябва да се извърши, както следва:

намерете пресечната точка на равнината на даденото лице и следата от сечението на пирамидата и я означете;

построяват права линия, минаваща през дадена точка и получената пресечна точка;

· Повторете тези стъпки за следващите лица.

, което съответства на отношението на катетите на правоъгълен триъгълник 4:3. Това съотношение на катетите съответства на добре познатия правоъгълен триъгълник със страни 3:4:5, който се нарича "перфектен", "свещен" или "египетски" триъгълник. Според историците на "египетския" триъгълник е придавано магическо значение. Плутарх пише, че египтяните сравняват природата на Вселената със „свещен“ триъгълник; те символично оприличиха вертикалния катет на съпруга, основата на съпругата и хипотенузата на това, което се ражда от двете.

За триъгълник 3:4:5 е вярно равенството: 32 + 42 = 52, което изразява Питагоровата теорема. Не е ли тази теорема, която египетските свещеници са искали да увековечат, като издигнат пирамида на базата на триъгълника 3:4:5? Трудно е да се намери по-добър пример за илюстрация на Питагоровата теорема, която е била известна на египтяните много преди откриването й от Питагор.

Така гениалните създатели на египетските пирамиди се стремяха да впечатлят далечните потомци с дълбочината на познанията си и постигнаха това, като избраха за „главна геометрична идея“ за пирамидата на Хеопс – „златния“ правоъгълен триъгълник и за пирамидата на Хефрен - "свещеният" или "египетският" триъгълник.

Много често в своите изследвания учените използват свойствата на пирамидите с пропорциите на Златното сечение.

Следната дефиниция на златното сечение е дадена в математическия енциклопедичен речник - това е хармонично деление, деление в екстремно и средно съотношение - разделяне на сегмента AB на две части по такъв начин, че по-голямата част от неговия AC е средното пропорционално между целия сегмент AB и неговата по-малка част CB.

Алгебрично намиране на златното сечение на отсечка AB = aсе свежда до решаване на уравнението a: x = x: (a - x), откъдето x е приблизително равно на 0,62a. Съотношението x може да бъде изразено като дроби 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, където 2, 3, 5, 8, 13, 21 са числата на Фибоначи.

Геометричната конструкция на златното сечение на сегмента AB се извършва, както следва: в точка B се възстановява перпендикулярът на AB, сегментът BE \u003d 1/2 AB се полага върху него, A и E са свързани, DE \ u003d BE се отлага и накрая AC \u003d AD, тогава равенството AB е изпълнено: CB = 2: 3.

Златното сечение често се използва в произведения на изкуството, архитектурата и се среща в природата. Ярки примери са скулптурата на Аполон Белведере, Партенона. При изграждането на Партенона е използвано отношението на височината на сградата към нейната дължина и това съотношение е 0,618. Обектите около нас също дават примери за златното сечение, например подвързиите на много книги имат съотношение ширина към дължина, близко до 0,618. Като се има предвид разположението на листата на едно общо стъбло на растенията, може да се забележи, че между всеки два чифта листа третият се намира на мястото на златното сечение (слайдове). Всеки от нас „носи“ златното съотношение със себе си „в ръцете“ - това е съотношението на фалангите на пръстите.

Благодарение на откриването на няколко математически папируса, египтолозите са научили нещо за древните египетски системи за смятане и мерки. Задачите, съдържащи се в тях, са решавани от писари. Един от най-известните е математическият папирус на Райнд. Изучавайки тези пъзели, египтолозите научиха как древните египтяни се справяха с различните количества, които възникваха при изчисляването на мерки за тегло, дължина и обем, които често използваха дроби, както и как се справяха с ъглите.

Древните египтяни са използвали метод за изчисляване на ъгли въз основа на съотношението на височината към основата на правоъгълен триъгълник. Те изразяват всеки ъгъл на езика на градиента. Градиентът на наклона се изразява като съотношение на цяло число, наречено "seked". В „Математиката във времето на фараоните“ Ричард Пилинс обяснява: „Секедът на правилна пирамида е наклонът на което и да е от четирите триъгълни лица към равнината на основата, измерен чрез n-то число хоризонтални единици на вертикална единица височина . Така тази мерна единица е еквивалентна на съвременния ни котангенс на ъгъла на наклон. Следователно египетската дума "секед" е свързана с нашата съвременна дума "градиент".

Цифровият ключ към пирамидите се крие в съотношението на тяхната височина към основата. Практически това е най-лесният начин да направите шаблони, необходими за постоянна проверка на правилния ъгъл на наклон по време на конструкцията на пирамидата.

Египтолозите биха се радвали да ни убедят, че всеки фараон е искал да изрази своята индивидуалност, оттук и разликите в ъглите на наклона на всяка пирамида. Но може да има и друга причина. Може би всички те са искали да въплъщават различни символични асоциации, скрити в различни пропорции. Въпреки това, ъгълът на пирамидата на Хефрен (базиран на триъгълника (3:4:5) се появява в трите проблема, представени от пирамидите в математическия папирус на Райнд). Така че това отношение е било добре известно на древните египтяни.

За да бъдем честни към египтолозите, които твърдят, че древните египтяни не са познавали триъгълника 3:4:5, нека кажем, че дължината на хипотенузата 5 никога не е била споменавана. Но математическите задачи, свързани с пирамидите, винаги се решават на базата на секидния ъгъл - отношението на височината към основата. Тъй като дължината на хипотенузата никога не се споменава, се стигна до заключението, че египтяните никога не са изчислявали дължината на третата страна.

Съотношенията височина към основа, използвани в пирамидите в Гиза, несъмнено са били известни на древните египтяни. Възможно е тези съотношения за всяка пирамида да са избрани произволно. Това обаче противоречи на значението, придавано на числовата символика във всички видове египетско изобразително изкуство. Много е вероятно подобни взаимоотношения да са били от голямо значение, тъй като са изразявали специфични религиозни идеи. С други думи, целият комплекс на Гиза е подчинен на последователен дизайн, проектиран да отразява някаква божествена тема. Това би обяснило защо дизайнерите са избрали различни ъгли за трите пирамиди.

В „Тайната на Орион“ Баувал и Гилбърт представиха убедителни доказателства за връзката на пирамидите в Гиза със съзвездието Орион, по-специално със звездите от пояса на Орион.Същото съзвездие присъства в мита за Изида и Озирис и там е основание всяка пирамида да се разглежда като изображение на едно от трите основни божества – Озирис, Изида и Хор.

ЧУДЕСА "ГЕОМЕТРИЧНИ".

Сред грандиозните пирамиди на Египет специално място заемат Голямата пирамида на фараона Хеопс (Хуфу). Преди да преминем към анализа на формата и размера на пирамидата на Хеопс, трябва да си припомним каква система от мерки са използвали египтяните. Египтяните са имали три единици за дължина: "лакът" (466 mm), равен на седем "длани" (66,5 mm), което от своя страна е равно на четири "пръста" (16,6 mm).

Нека анализираме размера на Хеопсовата пирамида (фиг. 2), следвайки разсъжденията, дадени в прекрасната книга на украинския учен Николай Васютински „Златна пропорция” (1990).

Повечето изследователи са съгласни, че дължината на страната на основата на пирамидата, напр. GFе равно на Л\u003d 233,16 м. Тази стойност съответства почти точно на 500 "лакти". Пълното съответствие с 500 "лакътя" ще бъде, ако дължината на "лакът" се счита за равна на 0,4663 m.

Височина на пирамидата ( з) се оценява от изследователите различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимост от приетата височина на пирамидата, всички съотношения на нейните геометрични елементи се променят. Каква е причината за разликите в оценката на височината на пирамидата? Факт е, че строго погледнато пирамидата на Хеопс е ​​пресечена. Горната й платформа днес е с размери приблизително 10 ´ 10 м, а преди век е била 6 ´ 6 м. Очевидно е, че върхът на пирамидата е бил демонтиран и не отговаря на оригиналния.

Оценявайки височината на пирамидата, е необходимо да се вземе предвид такъв физически фактор като "черната" на конструкцията. Дълго време, под въздействието на колосален натиск (достигащ 500 тона на 1 m2 от долната повърхност), височината на пирамидата намалява спрямо първоначалната си височина.

Каква е била първоначалната височина на пирамидата? Тази височина може да бъде пресъздадена, ако намерите основната "геометрична идея" на пирамидата.

Фигура 2.

През 1837 г. английският полковник Г. Уайз измерва ъгъла на наклона на стените на пирамидата: той се оказва равен на а= 51°51". Тази стойност все още се признава от повечето изследователи днес. Посочената стойност на ъгъла съответства на тангенса (tg а), равно на 1,27306. Тази стойност съответства на съотношението на височината на пирамидата ACдо половината от основата си CB(фиг.2), т.е. AC / CB = з / (Л / 2) = 2з / Л.

И тук изследователите бяха за голяма изненада!.png" width="25" height="24">= 1,272. Сравнявайки тази стойност със стойността на tg а= 1.27306, виждаме, че тези стойности са много близки една до друга. Ако вземем ъгъла а\u003d 51 ° 50", тоест да го намалите само с една дъгова минута, тогава стойността аще стане равно на 1,272, тоест ще съвпадне със стойността на . Трябва да се отбележи, че през 1840 г. Г. Уайз повтаря своите измервания и изяснява, че стойността на ъгъла а=51°50".

Тези измервания доведоха изследователите до следната много интересна хипотеза: триъгълникът ASV на пирамидата на Хеопс се основава на отношението AC / CB = = 1,272!

Помислете сега за правоъгълен триъгълник ABC, при които съотношението на крака AC / CB= (фиг.2). Ако сега дължините на страните на правоъгълника ABCозначават с х, г, z, а също така вземете предвид, че съотношението г/х= , тогава, в съответствие с Питагоровата теорема, дължината zможе да се изчисли по формулата:

Ако приеме х = 1, г= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Фигура 3"Златен" правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник, в който страните са свързани като T:golden" правоъгълен триъгълник.

Тогава, ако вземем за основа хипотезата, че основната "геометрична идея" на Хеопсовата пирамида е "златният" правоъгълен триъгълник, то от тук е лесно да се изчисли "проектната" височина на Хеопсовата пирамида. То е равно на:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Нека сега изведем някои други отношения за пирамидата на Хеопс, които следват от "златната" хипотеза. По-специално, намираме съотношението на външната площ на пирамидата към площта на нейната основа. За да направите това, вземаме дължината на крака CBна единица, тоест: CB= 1. Но тогава дължината на страната на основата на пирамидата GF= 2, и площта на основата EFGHще бъде равно на SEFGH = 4.

Нека сега изчислим площта на страничната повърхност на Хеопсовата пирамида SD. Тъй като височината ABтриъгълник AEFе равно на T, тогава площта на страничната повърхност ще бъде равна на SD = T. Тогава общата площ на всичките четири странични лица на пирамидата ще бъде равна на 4 T, а съотношението на общата външна площ на пирамидата към основната площ ще бъде равно на златното сечение! Ето какво е - основната геометрична тайна на пирамидата на Хеопс!

Групата на "геометричните чудеса" на пирамидата на Хеопс включва реалните и измислени свойства на връзката между различните измерения в пирамидата.

По правило те се получават в търсене на някаква "константа", по-специално числото "пи" (числото на Лудолф), равно на 3,14159...; основи на естествените логаритми "e" (числото на Напиер), равно на 2,71828...; числото "F", числото на "златното сечение", равно, например, на 0,618 ... и т.н.

Можете да посочите, например: 1) Собственост на Херодот: (Височина) 2 \u003d 0,5 ст. основен x Апотема; 2) Собственост на В. Цена: Височина: 0.5ст. osn \u003d корен квадратен от "Ф"; 3) Свойство на M. Eist: Периметър на основата: 2 Височина = "Pi"; в различна интерпретация - 2 супени лъжици. основен : Височина = "Pi"; 4) Свойство на Г. Ребер: Радиус на вписаната окръжност: 0,5 ст. основен = "F"; 5) Собственост на K. Kleppish: (Св. Главен.) 2: 2 (Св. Главен. x Апотема) \u003d (Св. Основен. W. Апотема) \u003d 2 (Св. Главен. x Апотема) : (( 2 ст. основен X апотема) + (ст. основен) 2). и т.н. Можете да измислите много такива свойства, особено ако свържете две съседни пирамиди. Например като "Свойства на А. Арефиев" може да се посочи, че разликата между обемите на пирамидата на Хеопс и пирамидата на Хефрен е равна на удвоения обем на пирамидата на Менкаур...

Много интересни разпоредби, по-специално за изграждането на пирамиди според "златното сечение", са изложени в книгите на Д. Хамбидж "Динамична симетрия в архитектурата" и М. Гийк "Естетика на пропорцията в природата и изкуството". Спомнете си, че "златното сечение" е разделянето на сегмента в такова съотношение, когато част А е толкова пъти по-голяма от част Б, колко пъти А е по-малко от целия сегмент А + В. Съотношението A / B е равно на числото "Ф" == 1.618... Използването на "златното сечение" е посочено не само в отделни пирамиди, но и в целия пирамиден комплекс в Гиза.

Най-любопитното обаче е, че една и съща пирамида на Хеопс просто "не може" да съдържа толкова много чудесни свойства. Вземайки определено свойство едно по едно, можете да го "нагласите", но всички наведнъж не пасват - не съвпадат, те си противоречат. Следователно, ако например при проверка на всички свойства първоначално се вземе една и съща страна на основата на пирамидата (233 m), тогава височините на пирамиди с различни свойства също ще бъдат различни. С други думи, съществува известно "семейство" от пирамиди, външно подобни на тези на Хеопс, но отговарящи на различни свойства. Обърнете внимание, че в „геометричните“ свойства няма нищо особено чудотворно – много неща възникват чисто автоматично, от свойствата на самата фигура. За „чудо“ трябва да се счита само нещо, което е очевидно невъзможно за древните египтяни. Това включва по-специално „космически“ чудеса, при които измерванията на Хеопсовата пирамида или комплекса от пирамиди в Гиза се сравняват с някои астрономически измервания и се посочват „четни“ числа: милион пъти, милиард пъти по-малко и т.н. . Нека разгледаме някои "космически" отношения.

Едно от твърденията е следното: "ако разделим страната на основата на пирамидата на точната дължина на годината, получаваме точно 10 милионна част от земната ос." Изчислете: разделете 233 на 365, получаваме 0,638. Радиусът на Земята е 6378 км.

Друго твърдение всъщност е обратното на предишното. F. Noetling посочи, че ако използвате изобретения от него "египетски лакът", тогава страната на пирамидата ще съответства на "най-точната продължителност на слънчевата година, изразена до най-близката милиардна част от деня" - 365.540.903.777 .

Твърдението на П. Смит: „Височината на пирамидата е точно една милиардна част от разстоянието от Земята до Слънцето“. Въпреки че обикновено се приема височина от 146,6 м, Смит я приема за 148,2 м. Според съвременните радарни измервания голямата полуос на земната орбита е 149,597,870 + 1,6 км. Това е средното разстояние от Земята до Слънцето, но в перихелий то е с 5 000 000 километра по-малко, отколкото в афелий.

Последно любопитно твърдение:

„Как да обясним, че масите на пирамидите на Хеопс, Хефрен и Менкаур са свързани една с друга, както масите на планетите Земя, Венера, Марс?“ Нека изчислим. Масите на трите пирамиди се съотнасят като: Хефрен - 0,835; Хеопс - 1000; Микерин - 0,0915. Съотношенията на масите на трите планети: Венера - 0,815; Земя - 1000; Марс - 0,108.

И така, въпреки скептицизма, нека да отбележим добре известната хармония на конструкцията на твърденията: 1) височината на пирамидата, като линия, "отиваща в космоса" - съответства на разстоянието от Земята до Слънцето; 2) страната на основата на пирамидата, която е най-близо "до субстрата", тоест до Земята, отговаря за земния радиус и земната циркулация; 3) обемите на пирамидата (четете - масите) съответстват на съотношението на масите на най-близките до Земята планети. Подобен "шифър" може да се проследи например в езика на пчелите, анализиран от Карл фон Фриш. Засега обаче се въздържаме от коментар по този въпрос.

ФОРМА НА ПИРАМИДИТЕ

Известната тетраедрична форма на пирамидите не се появи веднага. Скитите са правили погребения под формата на земни хълмове - могили. Египтяните са строили "хълмове" от камък - пирамиди. Това се случва за първи път след обединението на Горен и Долен Египет, през 28 век пр. н. е., когато основателят на III династия фараон Джосер (Зосер) се изправя пред задачата да укрепи единството на страната.

И тук, според историците, "новата концепция за обожествяване" на царя играе важна роля за укрепването на централната власт. Въпреки че кралските погребения се отличаваха с по-голям блясък, те не се различаваха по принцип от гробниците на придворните благородници, те бяха същите структури - мастаби. Над камерата със саркофага, съдържащ мумията, е изсипан правоъгълен хълм от малки камъни, където след това е поставена малка сграда от големи каменни блокове - "мастаба" (на арабски - "пейка"). На мястото на мастабата на своя предшественик Санахт фараонът Джосер издига първата пирамида. Тя беше стъпаловидна и представляваше видимо преходно стъпало от една архитектурна форма към друга, от мастаба към пирамида.

По този начин фараонът бил „отгледан“ от мъдреца и архитект Имхотеп, който по-късно бил смятан за магьосник и идентифициран от гърците с бог Асклепий. Сякаш шест мастаби бяха издигнати в редица. Освен това първата пирамида е заемала площ от 1125 х 115 метра, с приблизителна височина от 66 метра (според египетските мерки - 1000 "палми"). Първоначално архитектът планира да построи мастаба, но не продълговата, а квадратна в план. По-късно тя беше разширена, но тъй като разширението беше направено по-ниско, се образуваха две стъпала, така да се каже.

Тази ситуация не задоволи архитекта и на горната платформа на огромна плоска мастаба Имхотеп постави още три, като постепенно намаляваше към върха. Гробницата е била под пирамидата.

Известни са няколко по-стъпаловидни пирамиди, но по-късно строителите преминаха към изграждането на по-познати тетраедрични пирамиди. Защо обаче не триъгълна или, да речем, осмоъгълна? Косвен отговор дава фактът, че почти всички пирамиди са идеално ориентирани към четирите кардинални точки и следователно имат четири страни. В допълнение, пирамидата е била "къща", обвивка на четириъгълна гробна камера.

Но какво е причинило ъгъла на наклона на лицата? В книгата "Принципът на пропорциите" цяла глава е посветена на това: "Какво може да определи ъглите на пирамидите." По-специално се посочва, че „изображението, към което гравитират големите пирамиди от Старото царство, е триъгълник с прав ъгъл на върха.

В пространството това е полуоктаедър: пирамида, в която ръбовете и страните на основата са равни, лицата са равностранни триъгълници.Някакви съображения са дадени по този въпрос в книгите на Hambidge, Geek и др.

Какво е предимството на ъгъла на полуоктаедъра? Според описанията на археолози и историци някои пирамиди са се срутили под собствената си тежест. Това, което беше необходимо, беше "ъгъл на издръжливост", ъгъл, който беше най-енергийно надежден. Чисто емпирично, този ъгъл може да бъде взет от ъгъла на върха в купчина разпадащ се сух пясък. Но за да получите точни данни, трябва да използвате модела. Вземете четири здраво фиксирани топки, трябва да поставите петата върху тях и да измерите ъглите на наклона. Тук обаче можете да направите грешка, следователно теоретичното изчисление ви помага: трябва да свържете центровете на топките с линии (умствено). В основата получавате квадрат със страна, равна на два пъти радиуса. Квадратът ще бъде само основата на пирамидата, дължината на ръбовете на която също ще бъде равна на два пъти радиуса.

Така плътното опаковане на топчета от типа 1:4 ще ни даде правилен полуоктаедър.

Но защо много пирамиди, гравитиращи към подобна форма, въпреки това не я запазват? Вероятно пирамидите остаряват. Противно на известната поговорка:

„Всичко на света се страхува от времето, а времето се страхува от пирамидите“, сградите на пирамидите трябва да остареят, в тях могат и трябва да протичат не само процесите на външно изветряне, но и процесите на вътрешно „свиване“ , от което пирамидите може да станат по-ниски. Свиването също е възможно, тъй като, както е установено от трудовете на Д. Давидовиц, древните египтяни са използвали технологията за производство на блокове от варовик, с други думи, от "бетон". Именно тези процеси биха могли да обяснят причината за разрушаването на пирамидата Медум, намираща се на 50 км южно от Кайро. Той е на 4600 години, размерите на основата са 146 х 146 м, височината е 118 м. "Защо е толкова осакатен? - пита В. Замаровски. - Обичайните препратки към разрушителните ефекти на времето и "използването на камък за други сгради" не се вписват тук.

В края на краищата повечето от неговите блокове и облицовъчни плочи все още остават на мястото си, в руините в подножието й. "Както ще видим, редица разпоредби карат човек дори да мисли, че известната пирамида на Хеопс също е" свита ". Във всеки случай , на всички древни изображения пирамидите са заострени ...

Формата на пирамидите също може да бъде генерирана чрез имитация: някои естествени модели, "чудотворно съвършенство", да речем, някои кристали във формата на октаедър.

Такива кристали могат да бъдат диамантени и златни кристали. Характерно голям брой"пресичащи се" знаци за такива понятия като фараон, слънце, злато, диамант. Навсякъде - благороден, блестящ (блестящ), страхотен, безупречен и т.н. Приликите не са случайни.

Слънчевият култ, както знаете, е бил важна част от религията на древен Египет. „Без значение как превеждаме името на най-голямата от пирамидите“, казва един от съвременните учебници, „Sky Khufu“ или „Sky Khufu“, това означаваше, че царят е слънцето. Ако Хуфу, в блясъка на своята сила, си въобразяваше, че е второ слънце, тогава неговият син Джедеф-Ра стана първият от египетските царе, който започна да се нарича "син на Ра", тоест син на слънце Слънцето е символизирано от почти всички народи като "слънчев метал", злато. "Големият диск от ярко злато" - така египтяните наричат ​​нашата дневна светлина. Египтяните познаваха много добре златото, познаваха местните му форми, където златните кристали могат да се появят под формата на октаедри.

Като "образец на форми" тук е интересен и "слънчевият камък" - диамант. Името на диаманта идва точно от арабския свят, "алмас" - най-твърдият, най-твърдият, неразрушим. Древните египтяни са познавали диаманта и неговите свойства са доста добри. Според някои автори дори са използвали бронзови тръби с диамантени резци за пробиване.

Сега Южна Африка е основният доставчик на диаманти, но Западна Африка също е богата на диаманти. Там дори наричат ​​територията на Република Мали „Диамантената земя“. Междувременно на територията на Мали живеят догоните, с които привържениците на хипотезата за палеовизита възлагат много надежди (виж по-долу). Диамантите не могат да бъдат причина за контактите на древните египтяни с този регион. Но по един или друг начин е възможно именно чрез копиране на октаедрите от диамантени и златни кристали древните египтяни да обожествяват фараоните, „неразрушими“ като диамант и „блестящи“ като злато, синовете на Слънцето, сравними само с най-прекрасните творения на природата.

Заключение:

Изучавайки пирамидата като геометрично тяло, запознавайки се с нейните елементи и свойства, ние се убедихме в основателността на мнението за красотата на формата на пирамидата.

В резултат на нашите изследвания стигнахме до извода, че египтяните, след като са събрали най-ценните математически знания, са ги въплътили в пирамида. Следователно пирамидата наистина е най-съвършеното творение на природата и човека.

БИБЛИОГРАФИЯ

„Геометрия: Proc. за 7 - 9 клетки. общо образование институции \ и др - 9 изд. - М .: Образование, 1999

История на математиката в училище, М: "Просвещение", 1982г

Геометрия 10-11 клас, М: "Просвещение", 2000г

Питър Томпкинс "Тайните на Великата пирамида на Хеопс", М: "Центрополиграф", 2005 г.

Интернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

• апотема- височината на страничната страна на правилна пирамида, която се изтегля от нейния връх (освен това апотема е дължината на перпендикуляра, който се спуска от средата на правилен многоъгълник до 1 от страните му);
• странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триъгълници, които се събират на върха;
• странични ребра ( КАТО , BS , CS , Д.С. ) - общи страни на страничните лица;
• върха на пирамидата (срещу) - точка, която свързва страничните ръбове и която не лежи в равнината на основата;
• височина ( ТАКА ) - сегмент от перпендикуляра, който се изтегля през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на такъв сегмент ще бъдат върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
• диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, което минава през върха и диагонала на основата;
• база (ABCD) е многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи.

свойства на пирамидата.

1. Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава:

• близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
• страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина;
• освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или когато кръг може да бъде описан близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг, тогава всички странични ръбове на пирамидата имат еднакъв размер.

2. Когато страничните повърхности имат ъгъл на наклон към равнината на основата със същата стойност, тогава:

• близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
• височините на страничните лица са с еднаква дължина;
• площта на страничната повърхност е ½ произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.

3. В близост до пирамидата може да се опише сфера, ако основата на пирамидата е многоъгълник, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, които минават през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема заключаваме, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида.

4. Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в 1-ва точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще стане център на сферата.

Най-простата пирамида.

Според броя на ъглите на основата на пирамидата те се делят на триъгълни, четириъгълни и т.н.

Пирамидата ще триъгълна, четириъгълна, и така нататък, когато основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълник - петоъгълник и така нататък.