Сегодня человек живет в мире, где информация имеет огромное значение. Жизненно важно научится правильно с ней работать и использовать различные инструменты для этой работы. Одним из таких инструментов является компьютер, который стал универсальным помощником человеку в различных сферах деятельности. Современные математические модели настолько красивы и загадочны, что запросто могут свести с ума впечатлительного студента и учёного. Разноцветные изображения фракталов поражают своей современной гармонией. Поэтому вы смело можете повесить картину фрактала дома на стену и разыграть своих домочадцев сказать, что эта работа известного художника, и вы купили её за бешеные деньги на супермодной выставке современного авангардизма.
Фракталы замечательны тем, что многие из них удивительно похожи на то, что мы встречаем в природе. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные учёные говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности. Без преувеличения можно сказать, что соавтором открытия Мандельброта является компьютер. Чтобы нарисовать фрактал, нужно произвести большое количество вычислений, а найденные точки изобразить на графике. Делать это вручную крайне утомительно, а вот компьютер отлично справляется с этой задачей. С появлением компьютерной графики изменился и сам подход к исследованию в точных науках. Если раньше учёным приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. С помощью компьютеров они могут рисовать большие красивые картинки изучаемых явлений. Некоторые из учёных так увлеклись этим, что стали художниками, и сегодня выставки фрактальной живописи проходят по всему миру.
Так что же такое фрактал?
Фракталы — это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение . То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его уменьшенная копия.
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. А что же такое фрактальная графика? Среди всех картинок, которые может создавать компьютер, лишь немногие могут поспорить с фрактальными изображениями, когда идет речь о подлинной красоте. У большинства из нас слово «фрактал» вызывает в памяти цветные завитушки, формирующие сложный, тонкий и составной узор. Но на самом деле этот термин имеет гораздо более широкий смысл. Фрактал — объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий рассмотреть столько же своих деталей вблизи, как и издалека.
Земля — классический пример фрактального объекта. Из космоса она выглядит как шаp. Если приближаться к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Будем рассматривать горы ближе — станут видны еще более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы в своем масштабе столь же сложный и неровный, как сама гора. И даже еще более сильное увеличение покажет крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом. Компьютеры дают возможность строить модели таких бесконечно детализированных структур.
Есть много методов создания фрактальных изображений на компьютере. Два профессора математики из Технологического института штата Джоржия разработали широко используемый метод, известный как Системы Итерируемых Функций (СИФ). С помощью этого метода создаются реалистичные изображения природных объектов, таких, например, как листья папоротника, деревья, при этом неоднократно применяются преобразования, которые двигают, изменяют в размере и вращают части изображения. В СИФ используется самоподобие, которое есть у творений природы, и объект моделируется как композиция множества мельчайших копий самого себя.
Фрактальные изображения с многоцветными завитушками относятся обычно к разряду так называемых фракталов с временным порогом, которые изображаются точками на комплексной плоскости с цветами, отражающими время, требуемое для того, чтобы орбита данной точки перешла («перебежала») определенную границу. Комплексная плоскость — как координатная плоскость с осями x и y. По паре координат точка строится на комплексной плоскости так же, как и точка на плоскости Oxy, но числа имеют другой, необычный смысл: они обладают мнимой компонентой, называемой i, которая равна квадратному корню из -1. (Вот почему i — мнимая единица — в действительности корень из -1 не существует.) Это искажает обычные правила математики, так что такие общепринятые операции как умножение двух чисел, дают необычные результаты.
Наиболее известный фрактал, множество Мандельброта — фрактал с временным порогом. Для каждой точки на экране компьютер считает координаты серии точек, определяющих мнимый путь, называемый орбитой. Точки, чьи орбиты никогда не выходят за пределы мнимого цилиндра, расположенного в начале координат комплексной плоскости, считаются элементами множества Мандельброта и обычно закрашиваются черным. Точки, чьи орбиты выходят за пределы цилиндра, раскрашиваются в соответствии с быстротой «убегания»: пикселя, чья орбита покидает цилиндр, например, на шестой итерации, можно раскрасить голубым, a тот — орбите которого требуется для этого семь итераций — красным. В результате на изображении получим множество Мандельброта и его окружение с «нестабильными» областями фрактала — областями, для которых малые изменения формулы ведут к большой разнице в орбитальном поведении. Это характеризуется густотой закраски рисунка. Меняя формулу для подсчета орбит, получим другие, такие же экзотические фракталы с временным порогом.
Бесконечно детализированная структура множества Мандельброта становится «ясной», когда вы увеличиваете произвольную область. Неважно, сколь маленький участок вы рассматриваете: рисунок, который вы увидите, будет одинаково сложным. Почему? Потому что в двумерной плоскости, на которой строится множество Мандельброта, любая область содержит бесконечное число точек. Когда вы выбираете область для отображения, компьютер точкам из области ставит в соответствие точки на экране. И каждая точка, выбранная как угодно близко к другой, имеет свою характеристическую орбиту, порождающую соответствующий цветовой узор.
Фракталы — не только предмет математического любопытства, они имеют полезные приложения. Фрактальные пейзажи, например, использовались как декорации в научно-фантастических фильмах, например в «Звёздный путь». СИФ-фракталы используются для сжатия изображений, и фрактальный метод часто дает лучшие результаты при многократном сжатии чем JPEG и другие методы сжатия, с малыми потерями качества изображения. Фракталы с временным порогом используются для моделирования поведения хаотических динамических систем (систем, в которых небольшие изменения входных данных влекут за собой большие изменения в выходе) таких, как поведение погоды.
Позвольте вас немного познакомить с фрактальным рисунком:
Согласитесь выглядит эффектно!
Но ещё более невероятно выглядят сделанные в 3D фрактальные пейзажи:
Вы наверное много раз видели такие впечатляющие узоры с множеством цветов и «завитушек»…
Многие из них построены с помощью многократного копирования обычных шейпов, каждый из которых является уменьшенной копией большого орнамента.
Этот урок научит Вас делать подобные узоры в Adobe Photoshop.
Вот конечный результат того, что мы собираемся сделать:
Шаг 1
Фрактал
(лат. fractus - дробленый) - термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической. © Wikipedia
Ну что ж, давайте начнем. Для начала создадим новый документ размером 1600х1200 пикселей и поставим направляющие линии (Rulers (Ctrl+R)) по центру документа. Затем заливаем фон круговым градиентом #095261 - #000000 строго от центра.
Шаг 2
Теперь нарисуем обычный кружок… Да, я не шучу, все начинается с простого кружочка. Рисуем его с помощью Ellipse Tool"a, держа Shift. У меня он имеет размер 83х83 пикселя и расположен в средней части изображения. Затем, создадим папку слоев Fractal и поместим туда слой с кружком.
Шаг 3
Давайте придадим кружочку глубины:
Шаг 4
Теперь дублируем слой с кружочком (Ctrl+J), ресайзим его и ставим так, как показано на рисунке ниже:
Белый треугольник служит мне ориентиром для перемещения кружочков:)
Шаг 5
Здесь начинается самая веселая часть. Дублируем слой с основой нашего узора (предварительно соединив слои с кружочками) и жмем Ctrl+Alt+T, чтобы войти в режим свободной трансформации.
Шаг 6
Держа Shift, поворачиваем узор на несколько градусов по часовой стрелке и немного уменьшаем его. Затем переносим центр трансформации левее и ниже нашего узора (направление зависит от Ваших нужд). Жмем Enter.
Шаг 7
Настало время небольшого фокуса с одним шорткатом (Ctrl+Shift+Alt+T). Жмем эту волшебную комбинацию клавиш. Что произошло? Photoshop применил такие же параметры трансформации к новому объекту. Повторим этот шаг несколько раз, пока не добьемся нужного результата.
Шаг 8
Дублируем папку Fractal и жмем Ctrl+E, чтобы объединить ее в один слой. Скрываем оригинальную папку. Ставим полученной узор в правом нижнем секторе нашего документа.
Шаг 9
Выбираем полученный слой, дублируем его и применяем к нему свободную трансформацию со смещением центра трансформации в середину документа. Разворачиваем узор на 120 градусов.
Шаг 10
Делаем то же самое для получение третьей грани. Затем создаем папку слоев и ложим туда все 3 полученных узора. Дублируем папку и соединяем ее содержимое в один слой (Ctrl+E).
Шаг 11
Дублируем слой и трансформируем его: 
Шаг 12
Переходим в меню Image-Adjustments-Hue/Saturation и ставим такие параметры:
Шаг 13
Повторяем пункты 11 и 12 (12 с др. параметрами):
Шаг 14
Применяем этот прием много раз, пока не добьемся похожего результата. Помещаем все полученные слои в новую папку, дублируем ее и опять соединяем ее содержимое в один слой (все созданное ранее можно скрыть).
Шаг 15
Добавляем тень.
Шаг 16
Производим описанные с п.5 маневры с полученным орнаментом.
Заключение
Как Вы видите, с помощью этой техники можно создать множество красивых абстрактных дизайнов. Удачи Вам в Ваших начинаниях! :)
Авторы метода - психологи Т. 3. Полуяхтова и А. Е. Комов. Они широко известны своими работами в области оздоровительных систем и биоэнергоинформационных технологий. М етоду фрактального рисунка уже более 20 лет.
Основа метода - принцип фракталов и фрактальности как таковой. Рисунок здесь считается продолжением человека, его малой частью, проекцией. И эта малая часть отражает большое целое - человека. Глядя на рисунок, можно диагностировать состояние его автора. Что замечательно, этому нашлось и научное подтверждение.
На начальном периоде исследований в работе с энергетическими функциями цвета использовалась довольно простая, но эффективная методика. Она позволяла с помощью обычной трипризмы наблюдать цветную радужку над контуром фигуры человека.
Совершенно четко было видно, что у каждого человека свое неповторимое сочетание цветовой гаммы. Тогда больше всего удивляло то, что в разном физическом и эмоциональном состоянии у одного и того же человека наблюдалось разное сочетание цветов. Это была настоящая аура (энергетическая оболочка), цветовая гамма которой содержала в себе интереснейшую информацию о человеке.
Самым поразительным оказалось то, что те цвета, которые доминировали в цветовой гамме трипризмы, были теми же цветами, что доминировали в рисунке. Каждый слушатель закрашивал ячейки преимущественно тем цветом, который преобладал в цветовой гамме его ауры, отраженной в трипризме!
Думаю, вам уже не терпится проверить этот метод на себе. :) Давайте приступим!
Для того чтобы выполнить тестовый рисунок, необходима более или менее спокойная обстановка и немного свободного времени (около 1 часа).
Необходимые инструменты:
♦ набор цветных карандашей, фломастеров и ручек
как можно большего количества цветовых оттенков;
♦ лист ватмана формата А4;
♦ шариковая ручка черного или темно-синего цвета,
в крайнем случае черный тонкий фломастер.
Как рисовать:
1. Лист перед собой расположить по горизонтали.
2. Шарик ручки устанавливаем в любой точке листа.
3. Закрыв глаза, рисуем непрерывную линию
, стараясь заполнить как можно большую площадь листа, в течение 45—60 секунд.
4. Линия должна быть четкая и хорошо прочерченная.
5. Скорость движения ручки средняя, без резких росчерков.
6. Рисуем спокойно, с большим количеством пересечений по горизонтали, вертикали и диагонали, выполняя круговые, овальные и любые другие геометрические фигуры
и стараясь разнообразить направления линий и свои движения, а также не допуская частых повторов:
круговых форм;
петлеобразных форм;
8-образных форм;
геометрических форм.
Белый фон рисунка необходимо оставить идеально чистым, без помарок, пятен и надписей.
ВНИМАНИЕ!
Закрашивая тестовый рисунок, карандаши, фломастеры и цветные ручки (из общего набора) надо брать только с закрытыми глазами .
Несколько необходимых советов:
♦ Начало и окончание линии надо обязательно подвести или закруглить к ближайшей точке пересечения. Еще раз подчеркиваем, что линию ведем не резко, со средней скоростью (не очень быстро и не очень медленно). Рука должна двигаться свободно, как бы сама собой. Не изображайте знакомые фигуры (цветы, домики, деревья и др.)
♦ Соотношение крупных, средних и мелких ячеек на площади рисунка должно быть близким к 1/3, т. е. треть больших, треть средних, треть маленьких.
♦ Если, открыв глаза, Вы обнаружили, что в рисунке изображено большое количество крупных ячеек, необходимо закрыть глаза и еще некоторое время продолжить рисовать линию, стараясь не выходить за пределы листа.
♦ При закрашивании необходимо помнить, что соседние ячейки, разделенные линией, нельзя заполнять одним и тем же цветом. Если же ячейки соприкасаются в точке и расположены по диагонали, тогда можно.
♦ Ячейки необходимо закрашивать без штрихов, аккуратно и ровно. Самые маленькие ячейки старайтесь закрашивать только ручкой.
♦ Одним цветом можно закрасить либо одну ячейку, либо некоторое количество ячеек, но не более 10—15. В случае когда в руки попадается карандаш одного и то же цвета, то хотя бы одну ячейку, но закрасить необходимо , после чего карандаш возвращается в общий набор.
Фрактальный метод апробирован на многих людях. По их отзывам, результаты просто изумительны, так как с помощью этого метода можно не только четко обозначить проблемы, но и откорректировать их . Практическое использование фрактального метода значительно улучшает эмоциональное, психологическое и физическое состояние человека. Способствует его духовному росту и развитию творческих возможностей.
Внимательно изучите "ключ". Старайтесь быть объективным при оценке результата. Используйте знание значений теста, чтобы создать серию новых фрактальных рисунков, на этот раз с целью коррекции.
РАСШИФРОВКА ФРАКТАЛЬНОГО РИСУНКА
Ярко выраженные черты характера, индивидуальные качества, особенности поведения и состояния автора рисунка можно определить по следующим параметрам:
- характер линии;
- размер и конфигурация рисунка;
- размер и конфигурация ячеек;
- цветовая гамма рисунка,
отдельные доминирующие цвета и оттенки.
Если рисунок содержит характерные особенности, которые занимают до 60—75% его площади, это указывает на то, что качества и черты характера автора, а также его состояние ярко выражены. Особенности, занимающие 30—35% площади рисунка, указывают на средний показатель качеств и черт характера.
1. Анализ и расшифровка информации, содержащейся во фрактальном рисунке, начинается с линий.
Сначала необходимо посмотреть и оценить качество линии , которой нарисован контур рисунка. Оценить, насколько линия плавная, насколько линия прочерченная, контрастная, толстая. Необходимо оценить скорость, с какой линия проведена. Определить: спокоен был человек в момент нанесения или находился в агрессивном состоянии.
Четко прочерченная линия
— уверенный, твердый характер, целеустремленность и самостоятельность, аккуратность, исполнительность, обязательность.
Нажим при проведении линии не везде одинаковый
— чаще всего это творческий человек с гибким характером, мечтатель, не всегда устойчивые эмоции, иногда проявляется неуверенность в себе.
Слабо прочерченные линии — болезненное состояние, комплексы, заметная неуверенность в себе. Резкие, угловато прочерченные линии — эмоциональное напряжение, стрессовое состояние . Линии с плавными переходами — гармоничное, стабильное состояние. Расположение линий по концентрическому кругу , кругообразный повтор в рисунке — склонность к навязчивым состояниям, неврозам .
Маленький рисунок (не более 1/3 площади листа) — с одной стороны, комплексы и заниженная самооценка, с другой — склонность к эгоцентризму. Средний размер (около 2/3 площади листа) и овальный периметр рисунка — чаще всего это показатель уравновешенного характера.
Большой рисунок (значительно больше 2/3 площади листа) с линиями, выходящими за пределы листа, — нестабильное эмоциональное состояние , в некоторых случаях неспособность к концентрации внимания. Прямоугольная форма периметра рисунка — прямолинейный, зачастую сложный характер.
Конфигурация рисунка с причудливо выраженными "хвостиками" по его периметру — яркая индивидуальность, неординарность, в некоторых случаях нестабильность характера.
3. Ячейки. Конфигурация и размеры.
Ячейки на фрактальном рисунке тоже несут в себе достаточный объем информации об его авторе. Когда линия многократно пересекается в пространстве, получается огромное количество ячеек разных размеров, конфигураций и пропорциональных соотношений. Они могут быть треугольные, петлеобразные, круглые, вытянутые и т. д. Ячейки могут раскрыть чрезвычайно любопытные подробности, а их совокупность дает четкую картину о человеке как личности.
Гармоническое сочетание размеров ячеек на всей площади рисунка (1/3 крупных, 1/3 средних, 1/3 маленьких) — говорит об уверенности в себе, целеустремленности, стабильности.
Большое количество крупных ячеек — добрая открытая натура.
Большое количество средних ячеек — исполнительность, аккуратность, педантизм, наличие аналитических способностей, склонность к точным наукам.
Большое количество мелких ячеек
— закомплексованность, стремление к детализации, в некоторых случаях неуверенность в себе, но всегда аккуратность и старательность.
Плавные, округлые ячейки с небольшим числом геометрических форм
— рассудительный спокойный характер, склонность к творчеству.
Большое количество геометрических форм
— ярко выраженная склонность к анализу, скептицизм в оценках, прямолинейный авторитарный характер.
Резко прочерченные, угловатые, неровные ячейки
— эмоциональная нестабильность, раздражение, стресс.
Примечание.
Внимательно проанализируйте геометрические формы ячеек:
а) заметное, количество ячеек геометрической формы, полученных просто пересечением линий, показывает наличие твердого характера и присутствие деловых качеств. Но при этом отмечается некоторый комплекс зависимости от настроения;
б) геометрические формы ячеек, прорисованные соответствующими движениями руки и заполняющие весь или большую часть рисунка, свидетельствуют о прямолинейном, консервативном типе характера, также этому человеку могут быть присущи такие черты, как целеустремленность и бескомпромиссность.
4. Пятна
Маленькие черные (точечными пятнами) ячейки — наличие качества "формирователя" событий (о чем человек думает, то и происходит). Любое небольшое черное пятно — свидетельство начала изменения событий в настоящем времени. Заметное количество средних пятен или большое пятно черного цвета — энергетический голод , обесточенность (нежеланный труд, работа вхолостую). Большое локальное темное пятно — острая проблема личного характера.
5. Характерные цветовые акценты
Большие ячейки красного цвета — предрасположенность к навязчивым состояниям, тревожность. Заметное количество красных пятен среднего размера — напряженность, неустойчивые эмоции. Одна или несколько больших ячеек коричневого цвета — долго не решаемые проблемы межличностных отношений. Большое количество оттенков зеленого цвета — природная способность организма к саморегуляции. Одна или несколько крупных ячеек лилового цвета — тревожное состояние, агрессия, острый стресс.
6. Цвет
Чистый без пятен и помарок белый фон рисунка — высокая концентрация внимания, исполнительность, пунктуальность. Случайно или намеренно не закрашенные ячейки белого цвета — говорят о значительной невостребованности природных особенностей.
О других цветах можно сказать следующее.
- Лимонно-желтый — цвет педагога, учителя.
- Цыпляче-желтый — цвет "ретранслятора", передатчика информации, комментатора.
- Зеленый цвет всех оттенков - цвет здоровой энергии, оптимальная способность сопротивляемости и самовосстановления организма, способности к целительству.
- Синий цвет:
Голубой — цвет спокойной энергии.
Синий и темно-синий — цвет холодной равнодушной энергии.
Сиреневый — цвет сильной энергии.
Фиолетовый — цвет фонтанирующей энергии.
Лиловый — цвет мощной, неуправляемой энергии.
- Красный цвет :
Розовый — цвет теплой энергии.
Алый, малиновый — цвет, сигнализирующий о наличии опасности, цвет тревоги.
Густой оттенок красного цвета, бордовый, вишневый - цвет силы, агрессивной энергии.
- Оранжевый цвет — цвет жизненной, сексуальной энергии.
- Светлые оттенки (золотистый, бежевый, охра, песочный) коричневого цвета — цвет чистой энергии, святой энергии.
Коричневый — цвет, определяющий наличие беды, глубоких переживаний, депрессии (в сочетании с другими темными цветами и оттенками).
- Темно-коричневый — цвет, определяющий наличие беды, глубоких переживаний, депрессии (в сочетании с другими темными цветами и оттенками).
Серый цвет — цвет, определяющий наличие нестабильных энергий, в сочетании с другими темными цветами — пограничное состояние. В малом количестве этот цвет означает скорое изменение происходящих событий.
- Черный цвет — цвет энергетической ямы, вакуума, пустоты, энергетического обесточивания.
Примечание.
В целом, говоря о цвете, необходимо отметить следующее:
а) темные оттенки цветов показывают наличие чрезмерных (порой приобретающих отрицательное значение) качеств энергетических функций цвета;
б) средняя насыщенность цвета — оптимальные качества по энергетическим функциям цвета;
в) светлые, прозрачные тона каждого цвета — резервные или мало проявленные качества по энергетическим функциям цвета.
Это краткое описание расшифровки фрактального рисунка. Для объективной оценки своего тестового рисунка выпишите его характерные особенности на лист, определите наиболее часто встречающиеся параметры. Строго следуйте инструкции ключа при трактовке результата.
В данном описании даны лишь краткие характеристики цветов. Однако, это тот параметр, который является основным в методике фрактального рисунка. Как уже говорилось, цвета, преобладающие во фрактальном рисунке, являются цветами, преобладающими и в ауре автора рисунка. И они характеризуют наличие определенных качеств характера, эмоциональное и физическое состояние.
Зачастую гениальные открытия, совершенные в науке, способны кардинально изменять нашу жизнь. Так, например, изобретение вакцины может спасти множество людей, а создание нового вооружения приводит к убийству. Буквально вчера (в масштабе истории) человек «укротил» электричество, а сегодня уже не может представить свою жизнь без него. Однако существуют и такие открытия, которые, что называется, остаются в тени, причем несмотря на то, что они также оказывают то или иное влияние на нашу жизнь. Одним из таких открытий стал фрактал. Большинство людей даже не слышали о таком понятии и не смогут объяснить его значение. В этой статье мы попробуем разобраться с вопросом о том, что такое фрактал, рассмотрим значение этого термина с позиции науки и природы.
Порядок в хаосе
Для того чтобы понять, что такое фрактал, следовало бы начать разбор полетов с позиции математики, однако прежде чем углубляться в мы немного пофилософствуем. Каждому человеку присуща природная любознательность, благодаря которой он и познает окружающий мир. Зачастую в своем стремлении познания он старается оперировать логикой в суждениях. Так, анализируя процессы, которые происходят вокруг, он пытается вычислить взаимосвязи и вывести определенные закономерности. Самые большие умы планеты заняты решением этих задач. Грубо говоря, наши ученые ищут закономерности там, где их нет, да и быть не должно. И тем не менее даже в хаосе есть связь между теми или иными событиями. Вот этой связью и выступает фрактал. В качестве примера рассмотрим сломанную ветку, валяющуюся на дороге. Если внимательно к ней присмотреться, то мы увидим, что она со всеми своими ответвлениями и сучками сама похожа на дерево. Вот эта схожесть отдельной части с единым целым свидетельствует о так называемом принципе рекурсивного самоподобия. Фракталы в природе можно найти сплошь и рядом, ведь многие неорганические и органические формы формируются аналогично. Это и облака, и морские раковины, и раковины улиток, и кроны деревьев, и даже кровеносная система. Данный список можно продолжать до бесконечности. Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук.
Немного сухих фактов
Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины.
Историческая справка, или Как все начиналось
На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора - «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид - С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы.
Динамические, или алгебраические фракталы
К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений (вручную такой объем невозможно провести), позволивших построить изображение этих фигур.
Человек с пространственным воображением
Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени.
Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, отличающийся богатым и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе.
Жюлиа - Мандельброт
Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».
Л. Карпентер: искусство, созданное природой
Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал - это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.
Решение Карпентера
Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные на мелкие элементы, а те - на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.
Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме
Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте - анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма "Star Trek". Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.
Том Беддард
В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник, Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.
Фракталы в природе
Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина - они состоят из подобных фигур. А сорт капусты брокколи Романеску вообще поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы.
Музыкальная пауза
Оказывается, фракталы - это не только геометрические фигуры, они могут быть и звуками. Так, музыкант Джонатан Колтон пишет музыку с помощью фрактальных алгоритмов. Он утверждает, соответствует природной гармонии. Композитор все свои произведения публикует под лицензией CreativeCommons Attribution-Noncommercial, которая предусматривает свободное распространение, копирование, передачу произведений другими лицами.
Индикатор-фрактал
Данная методика нашла весьма неожиданное применение. На ее основе создан инструмент для анализа рынка фондовой биржи, и, как следствие, его начали применять на рынке «Форекс». Сейчас индикатор-фрактал находится на всех торговых платформах и применяется в торговой технике, которую называют ценовым прорывом. Разработал эту методику Билл Вильямс. Как комментирует свое изобретение автор, данный алгоритм является сочетанием нескольких «свечей», в котором центральная отражает максимальную либо, наоборот, минимальную экстремальную точку.
В заключение
Вот мы и рассмотрели, что такое фрактал. Оказывается, в хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть.